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Divisão de polinômios

Matemática

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Divisão de polinômios possui diferentes métodos de resolução. Vamos apresentar três métodos para essa divisão: o método de Descartes (coeficientes a determinar), o método da chave e o dispositivo prático de Briot-Ruffini.

Leia mais: Equação polinomial: forma e como resolver

Divisão de polinômios

Ao dividir um polinômio P (x) por um polinômio D (x) não nulo, em que o grau de P é maior que D (P > D), quer dizer que devemos encontrar um polinômio Q (x) e R (x), de modo que:

Note que esse processo é equivalente a escrever:

P (x) → dividendo

D (x) → divisor

Q (x) → quociente

R (x) → resto

Das propriedades da potenciação, temos que o grau do quociente é igual à diferença entre os graus do dividendo e divisor.

Q = P – D

Ainda, quando o resto da divisão entre P (x) e D (x) é igual a zero, dizemos que P (x) é divisível por D (x).

 Uma divisão de polinômios pode ser resolvida com diferentes métodos.
Uma divisão de polinômios pode ser resolvida com diferentes métodos.

Regras da divisão de polinômios

  • Método dos coeficientes a determinar — método de Descartes

Para realizar a divisão entre os polinômios P (x) e D (x), com grau de P maior que o grau de D, seguimos os passos:

Passo 1 - Determinar o grau do polinômio quociente Q (x);

Passo 2 - Tomar o maior grau possível para o resto da divisão R (X) (Lembre-se: R (x) = 0 ou R < D);

Passo 3 - Escrever os polinômios Q e R com coeficientes literais, de forma que P (x) = D (x) · Q (x) + R (x).

  • Exemplo

Sabendo-se que P (x) = 4x3 – x2 + 2 e que D (x) = x2 + 1, determina-se o polinômio quociente e o resto.

O grau do quociente é 1, pois:

Q = P – D

Q = 3 – 2

Q = 1

Assim no polinômio Q (x) = a·x +b, o resto R (x) é um polinômio cujo maior grau pode ser 1, logo: R (x) = c ·x +d. Substituindo os dados na condição do passo 3, temos:

Comparando os coeficientes dos polinômios, temos:

Logo, o polinômio Q (x) = 4x-1 e R (x) = -4x + 3.

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  • Método da chave

Consiste em realizar a divisão entre polinômios seguindo a mesma ideia da divisão entre dois números, o chamado algoritmo da divisão. Veja o exemplo a seguir.

Novamente vamos considerar os polinômios P (x) = 4x3 – x2 + 2 e D (x) = x2 + 1, e agora vamos dividi-los utilizando o método da chave.

Passo 1 - Completar o polinômio dividendo com coeficientes nulos, caso necessário.

P (x) = 4x3 – x2 + 0x + 2

Passo 2 - Dividir o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor e, em seguida, multiplicar o quociente por todo divisor. Veja:

Passo 3 - Dividir o resto do passo 2 pelo quociente e repetir esse processo até que o grau do resto seja menor que o grau do quociente.

Logo, Q (x) = 4x-1 e R (x) = -4x +3.

Acesse também: Adição, subtração e multiplicação de polinômios

  • Dispositivo prático de Briot-Ruffini

Utilizado para dividir polinômios por binômios.

Vamos considerar os polinômios: P (x) = 4x3 + 3 e D (x) = 2x + 1.

Esse método consiste em desenhar dois segmentos, um horizontal e outro vertical, e nesses segmentos colocamos o coeficiente do dividendo e a raiz do polinômio divisor, além disso, repete-se o primeiro coeficiente. Veja:

Perceba que o menor meio é a raiz do divisor e que o primeiro coeficiente foi divido.

Agora, devemos multiplicar a raiz do divisor pelo termo repetido e somá-lo ao próximo, veja:

O último número encontrado no dispositivo prático é o resto, e os demais são os coeficientes do polinômio quociente. Devemos dividir esses números pelo primeiro coeficiente do divisor, nesse caso por 2. Assim:

Para saber mais sobre esse método de divisão de polinômios, acesse: divisão de polinômios utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini.

Exercícios resolvidos

Questão1 (UFMG) O polinômio P (x) = 3x5 - 3x4 -2x3 + mx2 é divisível por D (x) = 3x2 - 2x. O valor de m é:

Solução

Como o polinômio P é divisível por D, então podemos aplicar o algoritmo da divisão. Assim,

Como foi dado que os polinômios são divisíveis, então o resto é igual a zero. Logo, 

 

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

LUIZ, Robson. "Divisão de polinômios"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/divisao-de-polinomios.htm. Acesso em 05 de abril de 2020.

Assista às nossas videoaulas
Lista de Exercícios
Questão 1

Ache o quociente e o resto na divisão de x² – 5x + 6 por x² – 7x + 12.

Questão 2

(UFG) Considere os polinômios p(x) = x4 - 13x3 + 30x2 + 4x - 40 e q(x) = x2 - 9x - 10.

Calcule s(x) = p(x)
                       q(x)

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