Adição e subtração de frações algébricas

Frações algébricas são expressões que possuem pelo menos uma incógnita no denominador. Incógnitas são números desconhecidos representados, geralmente, por letras. Dessa maneira, é possível definir as operações básicas matemáticas também para as frações algébricas.

A técnica usada para somar e subtrair frações algébricas é exatamente a mesma usada para frações numéricas, inclusive dividida em dois casos. A diferença está nos artifícios matemáticos usados para possibilitar os cálculos, como fatoração de polinômios ou propriedades de potências.

Caso 1: Frações algébricas com denominadores iguais

Quando as frações algébricas possuem denominadores iguais, elas podem ser somadas ou subtraídas diretamente, bastando repetir o denominador em comum e realizar a operação apenas com os numeradores. Observe o exemplo a seguir:

16xk² – 10xk² = 16xk² – 10xk² = 6xk²
   y            y                  y                y  

Independentemente da forma que tenham as frações algébricas ou de os numeradores serem termos semelhantes, basta manter o denominador e operar os numeradores com as regras de sinais da adição.

Caso 2: Frações algébricas com denominadores diferentes

Quando as frações algébricas a serem somadas ou subtraídas possuem denominadores diferentes, é necessário encontrar frações equivalentes a elas que possuam denominadores iguais para depois somá-las. O procedimento para encontrar essas frações é o mesmo usado na adição de frações numéricas: calcular o mínimo múltiplo comum dos denominadores, encontrar as frações equivalentes e depois realizar a adição/subtração de frações com denominadores iguais. Observe o exemplo de adição a seguir:

a + b +    4a²   – a – b
a – b   a² – b²   a + b

Mínimo múltiplo comum dos denominadores

Calcular o MMC de números inteiros não é tarefa desafiadora. Entretanto, o mínimo entre polinômios requer bastante prática. Para aprender a realizar esse cálculo, leia o artigo “Mínimo Múltiplo Comum de Polinômios” aqui.

Em resumo, é preciso fatorar os polinômios dos denominadores e depois multiplicar todos os fatores que possuem mesma base com maior expoente sem repetições.

Sendo assim, os denominadores do exemplo acima são: a – b, (a – b)(a + b), que é a forma fatorada de a² – b²_, e a + b. O MMC entre esses denominadores é (a – b)(a + b), que é justamente o produto dos fatores de mesma base com maior expoente sem repetições. Feito isso, reescreva as frações do exemplo usando o novo denominador comum e deixando os espaços para encontrar os numeradores equivalentes.

 a + b +     4a²    – a – b =                       +                        –                       
a – b     a² – b²    a + b   (a – b)(a + b)    (a – b)(a + b)    (a – b)(a + b)  

Encontrar as frações equivalentes

Para encontrar o numerador da primeira fração equivalente, divida o MMC encontrado pelo denominador da primeira fração dada e depois multiplique o resultado pelo seu numerador. O resultado disso será o numerador da primeira fração equivalente. Para as outras, repita o processo usando as respectivas frações.

Assim, o numerador da primeira fração equivalente é o resultado de (a – b)(a + b) dividido por a – b e multiplicado por a + b. Isso resulta em (a + b)². Continuando os cálculos para as demais frações e colocando os resultados em seus respectivos numeradores, temos:

a + b +     4a²    – a – b =     (a + b)²     +         4a²       –     (a – b)²     
    a – b    a² – b²    a + b    (a – b)(a + b)   (a – b)(a + b)   (a – b)(a + b)  

Realizar a adição/subtração

Nessa última etapa, realizam-se as operações propostas efetivamente. Observe:

    (a + b)²     +        4a²       –      (a – b)²    =
(a – b)(a + b)    (a – b)(a + b)   (a – b)(a + b)   

(a + b)² + 4a² – (a – b)² =
(a – b)(a + b)   

a² + 2ab + b² + 4a² – a² + 2ab – b² =
(a – b)(a + b)     

2ab + 4a² + 2ab =
(a – b)(a + b)   

   4a² + 4ab    =
(a – b)(a + b)   

Também é nesse passo que o resultado é simplificado por meio de fatoração de polinômios e, às vezes, propriedades de potências.

  4a² + 4ab  =
(a – b)(a + b)  

   4a(a + b)     =
(a – b)(a + b)    

  4a  
a – b

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática