Diferença de dois cubos

A diferença de dois cubos é um caso particular de polinômios estudado na álgebra. Quando se obtém o cubo da diferença, é possível realizar a fatoração desse polinômio e reescrevê-lo como a multiplicação entre dois polinômios, o que pode auxiliar na simplificação de operações entre polinômios. Quando há a diferença entre dois cubos, é possível fatorar da seguinte maneira: x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²).

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Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre diferença de dois cubos
• 2 - O que é a diferença entre dois cubos?
• 3 - Fórmula da diferença de dois cubos
  • Demonstração da fórmula da diferença de dois cubos
• 4 - Como é feita a diferença de dois cubos?
• 5 - Videoaula sobre fatoração de expressões algébricas
• 6 - Exercícios resolvidos sobre diferença de dois cubos

Resumo sobre diferença de dois cubos

• A diferença de dois cubos é um caso particular de fatoração de polinômios.
• Para fatorar a diferença entre dois cubos, utiliza-se a fórmula:

x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)

O que é a diferença entre dois cubos?

Na álgebra, o estudo dos polinômios possibilitou o desenvolvimento de seus casos de fatoração. Existem diversos casos de fatoração de polinômios, sendo que cada um deles é aplicado para determinada situação. A diferença entre dois cubos é, então, um caso particular de fatoração de polinômios, mas existem outros, como, por exemplo, o cubo da soma, a diferença de dois quadrados.

Fatorar um polinômio é reescrevê-lo como o produto entre dois ou mais fatores. Utilizam-se fatorações para simplificar operações envolvendo polinômios.

A diferença entre dois cubos nada mais é que a subtração entre dois monômios que podem ser reescritos como um termo elevado a cubo.

Exemplos:

• x³ – y³

• a³ – 1

• 8x³ – 27y³ 

• 64 – b³

Fórmula da diferença de dois cubos

Queremos reescrever a diferença entre dois cubos como a multiplicação de polinômios, ou seja, reescrevê-la na forma fatorada. Para isso, utilizamos a seguinte fórmula:

x→ primeiro termo

y → segundo termo

• Demonstração da fórmula da diferença de dois cubos

Se aplicarmos a propriedade distributiva na fatoração (x – y) (x² + xy + y²), encontraremos x³ – y³.

(x – y) (x² + xy + y²) = x³ + x²y + xy² – x²y – xy² – y³

(x – y) (x² + xy + y²) = x³ – y³

Dessa forma, podemos representar x³ – y³ como o produto (x – y) (x² + xy + y²), o que deixa demonstrada a fórmula de fatoração da diferença de dois cubos.

Leia também: Decomposição de um número em fatores primos

Como é feita a diferença de dois cubos?

Para realizar a fatoração da diferença entre dois cubos, é necessário conseguir identificar o valor do primeiro termo e do segundo termo. Para isso, é extraída a raiz cúbica desses números.

Exemplo 1:

Faça a fatoração do polinômio 64 – 8a³.

Resolução:

Primeiramente, extrairemos a raiz cúbica de cada termo para que seja possível identificar qual é o primeiro termo e qual é o segundo. Assim, calcula-se:

$\sqrt[3]{64}=4$

$\sqrt[3]{8a^3}=2a$

Então, temos que 4 é o primeiro termo e 2a , o segundo. Substituindo na fórmula:

$\left(4^3-\left(2a\right)^3\right)=\left(4-2a\right)\left(4^2+4\cdot2a+\left(2a\right)^2\right)$

Realizando o cálculo das potências e a multiplicação, encontraremos a forma fatorada do polinômio:

$64-8a^3=\left(4-2a\right)\left(16+8a+4a^2\right)$

Exemplo 2:

Fatore o seguinte polinômio:

$\frac{125x^3}{27}-8y^3$

Resolução:

Calculando a raiz cúbica de cada um dos termos, temos o seguinte:

$\sqrt[3]{\frac{125x^3}{27}}=\frac{5x}{3}$

$\sqrt[3]{8y^3}=2y$

Logo, conhecendo os primeiro e segundo termos, basta substituir na fórmula:

$\left(\frac{5x}{3}\right)^3-\left(2y\right)^3=\left(\frac{5x}{3}-2y\right)\left(\left(\frac{5x}{3}\right)^2+\frac{5x}{3}\cdot2y+\left(2y\right)^2\right)$

Agora, simplificando a expressão, encontraremos a forma fatorada do polinômio:

$\frac{125x^3}{27}-{8y}^3=\left(\frac{5x}{3}-2y\right)\left(\frac{25x^2}{9}+\frac{10xy}{3}+4y^2\right)$

Videoaula sobre fatoração de expressões algébricas

Leia também: Três erros comuns na simplificação de fração algébrica

Exercícios resolvidos sobre diferença de dois cubos

Questão 1

Existem dois números, b e a, consecutivos, cujo produto entre si é igual a 15500. O valor da expressão $\frac{a^3-a^2-b^3-b^2}{31}$, sabendo que a > b, é:

A) 150

B) 500

C) 1500

D) 3100

E) 2500

Resolução:

Alternativa B

Utilizando a fatoração da diferença entre dois cubos, sabemos que:

$a^3-b^3=\left(a-b\right)\ \left(a^2+ab+b^2\right)$

Como esses números são consecutivos, sabemos que a > b, então $a-\ b\ =\ 1.\ $

Então, temos que:

$a^3-b^3=1\cdot\left(a^2+15500+b^2\right)$

$a^3-b^3=a^2+15500+b^2$

Isolando as incógnitas:

$a^3-b^3-a^2-b^2=15500$

Queremos o valor de:

$\frac{a^3-a^2-b^3-b^2}{31}$

Para isso, basta dividir 15500 por 31:

$\frac{a^3-a^2-b^3-b^2}{31}=\frac{15500}{31}$

$\frac{a^3-a^2-b^3-b^2}{31}=500$

Questão 2

Simplificando a expressão $\frac{6x^3-6y^3}{2x^2+2xy+{2y}^2}$, encontraremos:

A) 3x + 2xy + 3y

B) 3(x – y)

C) 2x³ – 2y³

D) 2xy

E) x – y

Resolução:

Alternativa B

Fazendo a simplificação, obtém-se o seguinte:

$\frac{6\left(x^3-y^3\right)}{2\left(x^2+xy+y^2\right)}$

Podemos fazer a fatoração do numerador. Dessa forma, encontraremos:

$\frac{6\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}{2\left(x^2+xy+y^2\right)}$

Note que há um fator comum, no numerador e no denominador. Logo, temos que:

$\frac{6\left(x-y\right)}{2}$

Sabemos que 6 : 2 = 3, então encontraremos a expressão algébrica 3x - y.

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática