Simplificação de fração algébrica

Sempre que a palavra “algébrica” for utilizada para uma expressão numérica, significa que essa expressão possui pelo menos uma incógnita, isto é, uma letra ou símbolo utilizado para representar um número desconhecido. Desse modo, uma fração algébrica, por sua vez, nada mais é do que uma fração que possui pelo menos uma incógnita no denominador (parte de baixo da fração). Portanto, a simplificação de frações algébricas segue o mesmo fundamento da simplificação de frações numéricas.

São exemplos de frações algébricas:

1)

2x
4y

2)

4y² – 9x²
2y + 3x

Simplificando frações algébricas

Simplificar uma fração algébrica segue o mesmo fundamento de simplificar uma fração numérica. É preciso dividir numerador e denominador por um mesmo número. Observe um exemplo de simplificação de fração:

 30  =  15  =  5   =  1 
 60      30     10      2 

A fração acima foi simplificada por 2, depois por 3 e depois por 5. Para fundamentar o procedimento de simplificação de frações algébricas, reescreveremos a primeira fração acima em sua forma fatorada:

30 =    2· 3·5   
60     2·2·3·5 

Perceba que os números 2, 3 e 5 repetem-se no numerador e no denominador e que eles foram exatamente os mesmos números pelos quais a fração foi simplificada. No contexto das frações algébricas, o procedimento é parecido, pois é necessário fatorar os polinômios presentes no numerador e no denominador. Após isso, devemos avaliar se é possível simplificar alguns deles.

Exemplos

1) Simplifique a fração algébrica seguinte:

4x²y³
16xy⁶

Fatore cada uma das incógnitas e números presentes na fração:

4x²y³
16xy⁶

       2·2·x·x·y·y·y       
2·2·2·2·x·y·y·y·y·y·y

Agora realize as divisões que forem possíveis, conforme feito anteriormente para a fração numérica: Os números que aparecem tanto no numerador quanto no denominador desaparecem, isto é, são “cortados”. Também é possível escrever que o resultado de cada uma dessas simplificações é 1. Observe:

       2·2·x·x·y·y·y       
2·2·2·2·x·y·y·y·y·y·y

       x       
2·2·y·y·y

   x   
4y³

2) Simplifique a fração algébrica seguinte:

4y² – 9x²
2y + 3x

Observe que o numerador dessa fração algébrica enquadra-se em um dos casos de produtos notáveis, isto é, a diferença de dois quadrados. Para fatorá-lo, basta reescrevê-lo em sua forma fatorada. Após isso, é possível “cortar” os termos que aparecem tanto no denominador quanto no numerador assim como no exemplo anterior. Observe:

4y² – 9x²
2y + 3x

= (2y + 3x)(2y – 3x)
    2y + 3x

= 1·(2y – 3x)

= 2y + 3x

3) Simplifique a fração algébrica seguinte:

a²(y² – 16x²)
ay + 4ax

Como feito anteriormente, fatore os polinômios presentes no numerador e no denominador. Após isso, realize as divisões que forem possíveis.

a²(y² – 16x²)
ay + 4ax

= a·a·(y + 4x)(y – 4x)
  a·(y + 4x)

Observe que o numerador foi fatorado por meio da diferença de dois quadrados e o denominador foi fatorado por meio do fator comum. Além disso, o termo a² pode ser escrito como o produto a·a. Para finalizar, realize as divisões que forem possíveis. A saber, a por a e (y + 4x) por (y + 4x):

a·a·(y + 4x)(y – 4x)
a·(y + 4x)

= 1·1·(y – 4x)

= y – 4x

Os casos de fatoração são de suma importância para simplificar frações algébricas. Abaixo estão listados os casos mais importantes e algumas páginas onde podem ser encontrados com mais detalhes.

Fatoração de expressões algébricas

Um polinômio pode ser escrita em sua forma fatorada se puder ser expresso em uma das quatro formas abaixo. Os resultados apresentados são sua forma fatorada ou exemplos de como fatorá-los:

1 – Fator comum

Caso todos os termos do polinômio possuam incógnita ou algum número comum, é possível colocá-los em evidência. Por exemplo, no polinômio 4x² + 2x podemos colocar 2x em evidência. O resultado será:

4x² + 2x = 2x(2x + 1)

Observe que, ao realizar a multiplicação indicada no segundo membro (lado direito da igualdade), o resultado será justamente o primeiro membro (lado esquerdo da igualdade), em virtude da propriedade distributiva da multiplicação.

2 – Agrupamento

Tendo em vista o caso anterior, um polinômio que possui quatro termos pode ser fatorado por agrupamento, unindo os termos comuns dois a dois, e, posteriormente, ser fatorado novamente caso os resultados deixem essa possibilidade. O polinômio 2x + bx + 2y + by, por exemplo, pode ser fatorado da seguinte maneria:

2x + bx + 2y + by

x(2 + b) + y(2 + b)

Observe que o (2 + b) repete-se em ambos os novos termos. Logo, podemos colocá-lo em evidência:

x(2 + b) + y(2 + b)

(2 + b)(x + y)

3 – Trinômio quadrado perfeito

Sempre que um polinômio for trinômio quadrado perfeito, ele estará escrito de maneira equivalente a uma das três expressões seguintes dispostas à esquerda e em vermelho.

x² + 2xa + a² = (x + a)(x + a)

x² – 2xa + a² = (x – a)(x – a)

x² – a² = (x + a)(x – a)

O lado direito é a forma fatorada do polinômio, que pode ser utilizada para a simplificação de fração algébrica.

4 – Soma ou diferença de dois cubos

Sempre que o polinômio estiver na forma seguinte ou puder ser escrito nela, ele será uma soma de dois cubos.

x³ + 3x²a + 3xa² + a³ = (x + a)³

x³ – 3x²a + 3xa² – a³ = (x – a)³

Novamente, o lado esquerdo, em vermelho, é o polinômio que pode ser fatorado e reescrito como as expressões presentes no lado direito.

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática