Área do círculo

A área do círculo é a medida da superfície dessa figura geométrica. Para calcular a área de um círculo, é suficiente conhecer a medida de seu raio, que é a distância entre o centro e a borda. A fórmula para calcular a área do círculo é:

$A=\pi r^2$

Leia também: Área do setor circular — uma fatia da circunferência

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre área do círculo
• 2 - O que é círculo?
• 3 - Fórmula da área do círculo
• 4 - Como calcular a área do círculo?
• 5 - Círculo X circunferência
  • -> Videoaula sobre círculo e circunferência
• 6 - Perímetro do círculo
• 7 - Exercícios sobre área do círculo

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Resumo sobre área do círculo

• A área do círculo é a medida de sua superfície.
• Dado um círculo de raio r, sua área A é determinada pela expressão:

$A=\pi r^2$

• O círculo é a região interna da circunferência.
• O perímetro do círculo é a medida do seu contorno, que é o comprimento da circunferência de mesmo raio.
• A fórmula do perímetro C do círculo é:

$C=2\pi r$

O que é círculo?

Considere um ponto P e uma medida r. O círculo de centro P e raio r são o conjunto de pontos que estão a uma distância igual ou menor que r do ponto P. Na imagem adiante, a região em roxo é o círculo de centro P e raio r.

Formalmente, dizemos que os pontos A que pertencem ao círculo satisfazem a seguinte condição:

$d\left(A,P\right)\le r$

Lemos: A distância entre A e P é menor ou igual a r.

Fórmula da área do círculo

A fórmula da área do círculo está diretamente relacionada ao seu raio. Em um círculo de raio r, sua área A é obtida pela fórmula:

$A_{círculo}=πr^2$

Em que π é um número irracional aproximadamente igual a 3,1415.

Veja também: Como encontrar os ângulos de uma circunferência?

Como calcular a área do círculo?

Vejamos alguns exemplos de como calcular a área do círculo utilizando sua fórmula. Observe, em cada caso, a relação entre a unidade de medida do raio e unidade de medida da área.

• Exemplo 1: Determine a área de um círculo de 8 cm de raio. (Utilize π=3,14)

Como r = 8 cm, temos que:

$A=3,14\cdot8^2$

$A=\ 3,14\cdot64$

$A=200,96 cm²$

• Exemplo 2: Qual a área de um círculo com 12,5 m de raio? (Considere π=3)

Como r = 12,5 m, temos que:

$A=3\cdot\left(12,5\right)^2$

$A=3\cdot156,25$

$A=468,75 m²$

Círculo X circunferência

Círculo e circunferência não são a mesma figura. A circunferência é a borda, o contorno do círculo. A imagem adiante é uma circunferência de raio r.

-> Videoaula sobre círculo e circunferência

Perímetro do círculo

O perímetro do círculo é a medida de seu contorno. Assim, o perímetro de um círculo de raio r é o comprimento da circunferência de raio r, cuja fórmula é:

$C=2\pi r$

• Exemplo: Uma pessoa caminha ao longo da borda de uma piscina circular, completando exatamente uma volta. Qual a distância que essa pessoa percorreu se o raio da piscina é igual a 30 metros? (Utilize π = 3,14)

$C=2\cdot3,14\cdot30$

$C=188,4 metros$

Exercícios sobre área do círculo

Questão 1

(Uerj) Um valor aproximado da área do círculo pode ser obtido elevando-se ao quadrado 8/9 do seu diâmetro. Fazer esse cálculo corresponde a substituir, na fórmula da área do círculo, o valor de π por um número racional.

Esse número é igual a:

a) $\frac{128}{9}$

b) $\frac{256}{9}$

c) $\frac{128}{81}$

d) $\frac{256}{81}$

Resolução

Letra D

O diâmetro de um círculo é o dobro do raio. Assim, de acordo com o enunciado, temos a seguinte aproximação para a área do círculo:

$A=\left(\frac{8}{9}d\right)^2$

$A=\left(\frac{8}{9}2r\right)^2$

$A=\left(\frac{16}{9}r\right)^2$

$A=\frac{256}{81}r^2$

Comparando essa expressão com a fórmula da área do círculo, $A=\pi r^2$, temos que o valor de π deve ser substituído por $\frac{256}{81}$.

Questão 2

(Enem) No projeto de arborização de uma praça está prevista a construção de um canteiro circular. Esse canteiro será constituído de uma área central e de uma faixa circular ao seu redor, conforme ilustra a figura.

Deseja-se que a área central seja igual à área da faixa circular sombreada. A relação entre os raios do canteiro (R) e da área central (r) deverá ser:

a) $R=2r$

b) $R=r\sqrt2$

c) $R=\frac{r^2+2r}{2}$

d) $R=r^2+2r$

e) $R=\frac{3}{2}r$

Resolução

Letra B

Seja Aca a área do canteiro e Ace a área central, note que a área sombreada é Aca-Ace. Portanto, se a área central deve ser igual à área da faixa circular sombreada, temos que:

$A_{ce}=A_{ca}-A_{ce}$

${2A}_{ce}=A_{ca}$

Logo:

$2\pi r^2=\pi R^2$

$2r^2=R^2$

$R=\sqrt{2r^2}$

$R=r\sqrt2$

Fontes

LIMA, E. L. Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de Janeiro: IMPA, 2014.

REZENDE, E.Q.F.; QUEIROZ, M. L. B. de. Geometria Euclidiana Plana: e construções geométricas. 2ª ed. Campinas: Unicamp, 2008.