Área do círculo

A área do círculo é a medida da superfície dessa figura geométrica. Para calcular a área de um círculo, é suficiente conhecer a medida de seu raio, que é a distância entre o centro e a borda. A fórmula para calcular a área do círculo é:

\(A=\pi r^2\)

Leia também: Área do setor circular — uma fatia da circunferência

Resumo sobre área do círculo

• A área do círculo é a medida de sua superfície.
• Dado um círculo de raio r, sua área A é determinada pela expressão:

\(A=\pi r^2\)

• O círculo é a região interna da circunferência.
• O perímetro do círculo é a medida do seu contorno, que é o comprimento da circunferência de mesmo raio.
• A fórmula do perímetro C do círculo é:

\(C=2\pi r\)

O que é círculo?

Considere um ponto P e uma medida r. O círculo de centro P e raio r são o conjunto de pontos que estão a uma distância igual ou menor que r do ponto P. Na imagem adiante, a região em roxo é o círculo de centro P e raio r.

Formalmente, dizemos que os pontos A que pertencem ao círculo satisfazem a seguinte condição:

\(d\left(A,P\right)\le r\)

Lemos: A distância entre A e P é menor ou igual a r.

Fórmula da área do círculo

A fórmula da área do círculo está diretamente relacionada ao seu raio. Em um círculo de raio r, sua área A é obtida pela fórmula:

\(A_{círculo}=πr^2\)

Em que π é um número irracional aproximadamente igual a 3,1415.

Veja também: Como encontrar os ângulos de uma circunferência?

Como calcular a área do círculo?

Vejamos alguns exemplos de como calcular a área do círculo utilizando sua fórmula. Observe, em cada caso, a relação entre a unidade de medida do raio e unidade de medida da área.

• Exemplo 1: Determine a área de um círculo de 8 cm de raio. (Utilize π=3,14)

Como r = 8 cm, temos que:

\(A=3,14\cdot8^2\)

\(A=\ 3,14\cdot64\)

\(A=200,96 cm²\)

• Exemplo 2: Qual a área de um círculo com 12,5 m de raio? (Considere π=3)

Como r = 12,5 m, temos que:

\(A=3\cdot\left(12,5\right)^2\)

\(A=3\cdot156,25\)

\(A=468,75 m²\)

Círculo X circunferência

Círculo e circunferência não são a mesma figura. A circunferência é a borda, o contorno do círculo. A imagem adiante é uma circunferência de raio r.

-> Videoaula sobre círculo e circunferência

Perímetro do círculo

O perímetro do círculo é a medida de seu contorno. Assim, o perímetro de um círculo de raio r é o comprimento da circunferência de raio r, cuja fórmula é:

\(C=2\pi r\)

• Exemplo: Uma pessoa caminha ao longo da borda de uma piscina circular, completando exatamente uma volta. Qual a distância que essa pessoa percorreu se o raio da piscina é igual a 30 metros? (Utilize π = 3,14)

\(C=2\cdot3,14\cdot30\)

\(C=188,4 metros\)

Exercícios sobre área do círculo

Questão 1

(Uerj) Um valor aproximado da área do círculo pode ser obtido elevando-se ao quadrado 8/9 do seu diâmetro. Fazer esse cálculo corresponde a substituir, na fórmula da área do círculo, o valor de π por um número racional.

Esse número é igual a:

a) \( \frac{128}{9}\)

b) \( \frac{256}{9}\)

c) \( \frac{128}{81}\)

d) \( \frac{256}{81}\)

Resolução

Letra D

O diâmetro de um círculo é o dobro do raio. Assim, de acordo com o enunciado, temos a seguinte aproximação para a área do círculo:

\(A=\left(\frac{8}{9}d\right)^2\)

\(A=\left(\frac{8}{9}2r\right)^2\)

\(A=\left(\frac{16}{9}r\right)^2\)

\(A=\frac{256}{81}r^2\)

Comparando essa expressão com a fórmula da área do círculo, \(A=\pi r^2\), temos que o valor de π deve ser substituído por \(\frac{256}{81}\).

Questão 2

(Enem) No projeto de arborização de uma praça está prevista a construção de um canteiro circular. Esse canteiro será constituído de uma área central e de uma faixa circular ao seu redor, conforme ilustra a figura.

Deseja-se que a área central seja igual à área da faixa circular sombreada. A relação entre os raios do canteiro (R) e da área central (r) deverá ser:

a) \( R=2r\)

b) \( R=r\sqrt2\)

c) \( R=\frac{r^2+2r}{2}\)

d) \( R=r^2+2r\)

e) \( R=\frac{3}{2}r\)

Resolução

Letra B

Seja Aca a área do canteiro e Ace a área central, note que a área sombreada é Aca-Ace. Portanto, se a área central deve ser igual à área da faixa circular sombreada, temos que:

\(A_{ce}=A_{ca}-A_{ce}\)

\({2A}_{ce}=A_{ca}\)

Logo:

\(2\pi r^2=\pi R^2\)

\(2r^2=R^2\)

\(R=\sqrt{2r^2}\)

\(R=r\sqrt2\)

Fontes

LIMA, E. L. Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de Janeiro: IMPA, 2014.

REZENDE, E.Q.F.; QUEIROZ, M. L. B. de. Geometria Euclidiana Plana: e construções geométricas. 2ª ed. Campinas: Unicamp, 2008.