Área sob uma Curva

Os cálculos relacionados a áreas de figuras planas regulares são de certa forma realizados facilmente, devido às fórmulas matemáticas existentes. No caso de figuras como o triângulo, quadrado, retângulo, trapézios, losangos, paralelogramo entre outras, basta relacionarmos as fórmulas à figura e realizar os cálculos necessários. Algumas situações exigem ferramentas auxiliares na obtenção de áreas, como exemplo as regiões existentes sob uma curva. Para tais situações utilizamos os cálculos envolvendo as noções de integrações desenvolvidas por Isaac Newton e Leibniz.

Podemos representar algebricamente uma curva no plano através de uma lei de formação chamada função. A integral de uma função foi criada no intuito de determinar áreas sob uma curva no plano cartesiano. Os cálculos envolvendo integrais possuem diversas aplicações na Matemática e na Física. Observe a ilustração a seguir:

Para calcular a área da região demarcada (S) utilizamos a integrada função f na variável x, entre o intervalo a e b:

A ideia principal dessa expressão é dividir a área demarcada em infinitos retângulos, pois intuitivamente a integral de f(x) corresponde à soma dos retângulos de altura f(x) e base dx, onde o produto de f(x) por dx corresponde à área de cada retângulo. A soma das áreas infinitesimais fornecerá a área total da superfície sob a curva.

Ao resolvermos a integral entre os limites a e b, teremos como resultado a seguinte expressão:

 



Exemplo

Determine a área da região a seguir delimitada pela parábola definida pela expressão f(x) = – x² + 4, no intervalo [-2,2].

Determinando a área através da integração da função f(x) = –x² + 4.

Para isso precisamos relembrar a seguinte técnica de integração:

Portanto, a área da região delimitada pela função f(x) = –x² + 4, variando de -2 a 2, é de 10,6 unidades de área.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Funções - Matemática - Brasil Escola