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Função raiz

Matemática

Conhecemos como função raiz a função que possui variável dentro do radical. É um tipo de função irracional, pois a sua imagem frequentemente é um número irracional.
A função raiz é aquela que possui variável dentro do radical.
A função raiz é aquela que possui variável dentro do radical.
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Função raiz é a função que possui pelo menos uma variável dentro de um radical. Ela é chamada também de função irracional, sendo a mais comum delas a raiz quadrada, porém existem outras, como a função raiz cúbica, entre outros índices possíveis.

Para encontrar o domínio de uma função raiz, é importante analisar o índice. Quando o índice é par, o radicando deve ser positivo por condição de existência da raiz. Já o contradomínio da função raiz é o conjunto dos números reais. Também é possível fazer a representação gráfica de uma função raiz.

Saiba mais: Domínio, contradomínio e imagem — o que cada um representa?

Resumo sobre função raiz

  • A função raiz é aquela que possui uma variável dentro do radical.

  • Para encontrar o domínio da função raiz, é necessário analisar o índice do radical.

    • Se o índice da raiz for par, no radicando só haverá valores reais positivos.

    • Se o índice da raiz for ímpar, o domínio será os números reais.

  • A função raiz quadrada é a mais comum entre as funções raiz.

  • A função raiz quadrada possui gráfico sempre crescente e positivo.

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O que é a função raiz?

Classificamos qualquer função que possua uma variável dentro do radical como função raiz. De forma análoga, podemos considerar como função raiz aquela que possui uma variável elevada a um expoente igual a uma fração própria, que são frações que possuem o numerador menor que o denominador, pois sempre que necessário podemos transformar um radical em uma potência com expoente fracionário.

  • Exemplos de função raiz:

Exemplos de função raiz.

Como calcular a função raiz

Conhecendo a lei de formação de uma função raiz, deve-se calcular o valor numérico da função. Assim como em todas as funções que estudamos, calculamos o valor numérico da função substituindo a variável pelo valor desejado.

  • Exemplo de como calcular a função raiz:

Dada a função f(x) = 1 + √x, encontre o valor de:

a) f(4)

Substituindo x = 4, temos:

f(4) = 1 + √4

f(4) = 1 + 2

f(4) = 5

Essas funções são conhecidas como irracionais pelo fato de que a maioria das suas imagens são números irracionais. Por exemplo, se calcularmos f(2), f(3) para essa mesma função:

b) f(2) = 1 + √2

c) f(3) = 1 + √3

Deixamos representado dessa forma, como uma adição entre 1 e o número irracional. Entretanto, quando necessário, podemos utilizar uma aproximação para essas raízes não exatas.

Veja também: Função inversa — o tipo de função que faz exatamente o inverso da função f(x)

Domínio e contradomínio de uma função raiz

Quando estudamos uma função raiz, é fundamental analisar caso a caso, para que seja possível definir bem o seu domínio. O domínio depende diretamente do índice da raiz e do que está em seu radicando. Já o contradomínio de uma função raiz é sempre o conjunto dos números reais.

Vejamos a seguir alguns exemplos:

  • Exemplo 1:

Começando pela função raiz mais comum e mais simples, a seguinte função:

f(x) = √x

Analisando o contexto, nota-se que, como se trata de uma função quadrada e o contradomínio é o conjunto dos números reais, não existe no conjunto raiz negativa quando o índice for par. Sendo assim, o domínio da função é o conjunto dos números reais positivos, ou seja:

D = R+

  • Exemplo 2:

Exemplo de função raiz com subtração em raiz quadrada.

Como há uma raiz quadrada, para que essa função exista no conjunto dos números reais, o radicando deve ser maior ou igual a zero. Então, calculamos:

x – 4 ≥ 0

x ≥ 4

Assim, o domínio da função é:

D = {x ∈ R | x ≥ 4}

  • Exemplo 3:

Exemplo de função raiz com soma em raiz cúbica.

Nessa função não há restrição, pois o índice da raiz é ímpar, portanto o radicando pode ser negativo. Dessa forma, o domínio dessa função será os números reais:

D = R

Acesse também: Radiciação — a operação numérica inversa à potenciação

Gráfico de uma função raiz

Na função raiz quadrada de x, o gráfico é sempre positivo. Em outras palavras, a imagem da função é sempre um número real positivo, os valores que x pode assumir são sempre positivos e o gráfico é sempre crescente.

  • Exemplo de função raiz quadrada:

Vejamos a representação do gráfico da função raiz quadrada de x.

Representação de um gráfico da função raiz quadrada de x.

  • Exemplo de função raiz cúbica:

Agora, faremos a representação do gráfico de uma função com índice ímpar. É possível fazer a representação de outras funções raiz, como as funções cúbicas. Vejamos, a seguir, a representação da função raiz cúbica de x. Note que, nesse caso, como a raiz possui índice ímpar, x pode admitir valores negativos, e a imagem também pode ser negativa.

Representação de um gráfico da função raiz cúbica de x.

Leia também: Como construir o gráfico de uma função?

Exercícios resolvidos sobre função raiz

Questão 1

Dada a função raiz a seguir, com domínio no conjunto dos números reais positivos e contradomínio no conjunto dos números reais, qual deve ser o valor de x para que f(x) = 13?

Exemplo de função raiz com soma de número elevado ao quadrado em raiz cúbica.

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

Resolução:

Alternativa C

Resolução de função raiz com a substituição da função f(x) por 13.

Como o domínio da função é o conjunto dos números reais positivos, o valor que faz com que f(x) seja igual a 13 é x = 5.

Questão 2

Sobre a função f(x), julgue as afirmativas a seguir.

Função raiz com subtração em raiz quadrada.

I → O domínio dessa função é o conjunto dos números reais maiores que 5.

II → Nessa função, f(1) = 2.

III → Nessa função, f( – 4) = 3.

Marque a alternativa correta:

A) Somente a afirmativa I é falsa.

B) Somente a afirmativa II é falsa.

C) Somente a afirmativa III é falsa.

D) Todas as afirmativas são verdadeiras.

Resolução:

Alternativa A

I → Falsa

Sabemos que 5 – x > 0, então temos:

– x > – 5 ( – 1)

x < 5

O domínio é, portanto, os números reais menores que 5.

II → Verdadeira

Calculando f(1), temos:

Resolução da função f(x) com substituição do x por 1.

III → Verdadeira

Resolução da função f(x) com substituição do primeiro x por 1 e do segundo por -4.

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Função raiz"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-raiz.htm. Acesso em 29 de janeiro de 2022.

Lista de Exercícios
Questão 1

Dada a função raiz com lei de formação igual a \(f(x)=√(x+12)\) , o valor da expressão \(f(-3) - f(4)\) é:

A) – 2

B) – 1

C) 0

D) 1

E) 2

Questão 2

Sobre a função com lei de formação \(f(x)=√x\) , julgue as afirmativas a seguir:

I – A função é crescente.

II – O domínio e o contradomínio dessa função podem ser o conjunto dos números reais.

III – Se o domínio for o conjunto dos números reais positivos, então a imagem dessa função também será o conjunto dos números reais positivos.

Marque a alternativa correta:

A) Somente a afirmativa I é verdadeira.

B) Somente a afirmativa II é verdadeira.

C) Somente a afirmativa III é verdadeira.

D) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.

E) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.

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