A potenciação é uma operação matemática. Utilizamos a potenciação para indicar multiplicações consecutivas de um mesmo fator. Por exemplo, 35 representa 5 multiplicações do número 3, o que resulta em 243. Dizemos que 3 é a base, 5 é o expoente e 243 é a potência.
Neste texto descobriremos como calcular qualquer potência e como utilizar as principais propriedades de potenciação para simplificar cálculos. Além disso, conheceremos alguns casos particulares da potenciação, que exigem atenção especial.
Vejamos cinco das principais propriedades de potenciação.
Multiplicação de potências de mesma base
Seja x um número real, assim xme xn são duas potências de mesma base. Calcular o produto \(x^m.x^n\) e calcular a potência \(x^{m+n}\) levam ao mesmo resultado, ou seja:
\(x^m.x^n=x^{m+n}\ \)
Exemplo:
Observe que:
\(2^3=8\)
\(2^4=16 \)
\( 2^3.2^4=8.16=128 \)
Além disso:
\(2^{3+4}=2^7=128\)
Dessa forma, \(2^3.2^4\) e \(2^{3+4} \) resultam em 128.
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Divisão de potências de mesma base
Seja x um número real, assim xm e xnsão duas potências de mesma base. Calcular o quociente \(\frac{x^m}{x^n}\) e calcular a potência xm-n levam ao mesmo resultado, ou seja:
\(\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}\)
Exemplo:
Observe que:
\(3^5=243\)
\(3^2=9\)
\(\frac{3^5}{3^2}=\frac{243}{9}=27\)
Além disso:
\(3^{5-2}=3^3=27\)
Dessa forma, \(\frac{3^5}{3^2}\) e \(3^{5-2}\) resultam em 27.
Potência de potência
Seja x um número real, assim \(x^m\) é uma potência e \(\left(x^m\right)^n\) é uma potência de potência.
Calcular primeiro a potência \(x^m\) e elevar ao expoente n e calcular a potência xm.n levam ao mesmo resultado, ou seja:
\(\left(x^m\right)^n=x^{m.n}\)
Exemplo:
Observe que:
\(\left(4^2\right)^3={16}^3=4096\)
Além disso:
\(4^{2.3}=4^6=4096\)
Dessa forma, \(\left(4^2\right)^3\)e \(4^{2.3}\) resultam em 4096.
Cuidado: Existe diferença entre \(\left(x^m\right)^n\) e \(x^{m^n}\). No primeiro caso, a potência \(x^m\) possui n como expoente. No segundo caso, n é expoente apenas de m . Compare:
\(\left(2^2\right)^3=4^3=64\)
\(2^{2^3}=2^8=256\)
Potência de produto
Sejam x e y números reais, assim, \(\left(x.y\right)^n\) é a potência de um produto.
Calcular primeiro o produto \(x.y \) e elevar ao expoente n e calcular o produto entre as potências \(x^n\) e \(y^n\) levam ao mesmo resultado, ou seja:
\(\left(x.y\right)^n=x^n.y^n\)
Exemplo:
Observe que:
\(\left(5.2\right)^3={10}^3=1000\)
Além disso:
\(5^3.2^3=125.8=1000\)
Dessa forma, \(\left(5.2\right)^3\) e \(5^3.2^3\) resultam em 1000.
Potência de quociente
Sejam x e y números reais, assim \(\left(\frac{x}{y}\right)^n\)é a potência de um quociente.
Calcular primeiro o quociente \(\frac{x}{y}\)e elevar ao expoente n e calcular o quociente entre as potências \(x^n\) e \(y^n\) levam ao mesmo resultado, ou seja:
\(\left(\frac{x}{y}\right)^n=\frac{x^n}{y^n}\)
Exemplo:
Observe que:
\(\left(\frac{6}{3}\right)^4=2^4=16\)
Além disso:
\(\frac{6^4}{3^4}=\frac{1296}{81}=16\)
Dessa forma, \(\left(\frac{6}{3}\right)^4\) e \(\frac{6^4}{3^4} \) resultam em 16.
Para calcular uma potência, devemos resolver multiplicações sequenciais entre um mesmo fator. Lembre-se que a base indica o número que será multiplicado e o expoente indica quantas vezes devemos multiplicar esse número.
Seja x um número real, então x1 indica uma multiplicação de x, portanto, uma potência com expoente 1 resulta no valor da base.
Dessa forma:
\(x^1=x\)
Exemplos:
\(\left(-5\right)^1=-5\)
\({23.567}^1=23.567\)
Expoente zero
Seja x um número real, então:
\(x^0=1\)
Parece estranho ou sem sentido? Vamos analisar um exemplo com x=3 .
Exemplo:
Observe a imagem abaixo, que apresenta diferentes expoentes para a base 3. Pela definição de potenciação (uma multiplicação de fatores iguais), se a cada linha aumentamos 1 no expoente, devemos incluir um fator 3 multiplicando. Portanto, para que o padrão seja mantido, \(3^1\) deve ser o triplo de \(3^0\), logo, \(3^0=1\).
Expoente negativo
Seja x um número real, e estendendo a análise do item anterior, podemos concluir que \(x^{-1}\) é o inverso multiplicativo de x , ou seja:
\(x^{-1}=\frac{1}{x}\)
Exemplos:
\(2^{-1}=\frac{1}{2}\)
\({15}^{-1}=\frac{1}{15}\)
Expoente fracionário
Seja x um número real, então xmn indica uma raiz de índice n e radicando xm , ou seja:
\(x^\frac{m}{n}\ =\ \sqrt[n]{x^m}\)
Exemplos:
\(2^\frac{1}{3}=\sqrt[3]{2^1}\)
\(4^\frac{3}{2}=\sqrt[2]{4^3}\)
Como se lê uma potência?
Se o expoente for 2, lemos que a base está elevada ao quadrado ou à potência 2 ou à segunda potência.
Se o expoente for 3, lemos que a base está elevada ao cubo ou à potência 3 ou à terceira potência.
Para expoente n qualquer, lemos que a base está elevada à enésima potência.
Exemplos:
32 — três ao quadrado; três elevado ao quadrado; três elevado à segunda potência.
53 — cinco ao cubo; cinco elevado ao cubo; cinco elevado à terceira potência.
79 — sete elevado à nona potência.
Diferenças entre radiciação e potenciação
A radiciação é a operação inversa da potenciação. Enquanto na potenciação partimos da multiplicação dos fatores para obter a potência, na radiciação partimos da potência (ou seja, do resultado da potenciação) para encontrar os fatores.
Assim, dizer que \(\sqrt[n]{k\ }=x\) significa dizer que \( x^n=k\). Por exemplo, \(\sqrt[3]{8}\ =2\), pois \(2^3=8.\)
(Enem PPL 2021) A imagem representa uma calculadora científica com duas teclas destacadas. A tecla A eleva ao quadrado o número que está no visor da calculadora, e a tecla B extrai a raiz cúbica do número apresentado no visor:
Uma pessoa digitou o número 8 na calculadora e em seguida apertou três vezes a tecla A e depois uma vez a tecla B.
A expressão que representa corretamente o cálculo efetuado na calculadora é:
a) \( \sqrt[2]{8^{3+3+3}}\)
b) \( \sqrt[3]{8^{2\times2\times2}}\)
c) \( \sqrt[2]{8^3+8^3+8^3}\)
d) \( \sqrt[3]{8^2+8^2+8^2}\)
e) \( \sqrt[3]{8^2\times8^2\times8^2}\)
Resolução:
Apertar três vezes a tecla A significa calcular \(\left(\left(8^2\right)^2\right)^2\). Perceba que essa expressão envolve potência de potência. Assim, aplicando a propriedade:
Apertar uma vez a tecla B significa calcular \(\sqrt[3]{8^{2\times2\times2}}\) .
Alternativa B
Questão 2
(UFRGS) Por qual potência de 10 deve ser multiplicado o número \({10}^{-3}\ \times{10}^{-3}\times{10}^{-3}\times{10}^{-3}\) para que esse produto seja igual a 10?
a) 109
b) 1010
c) 1011
d) 1012
e) 1013
Resolução:
Como o produto possui potências de mesma base, podemos aplicar a propriedade:
Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática
Escrito por: Maria Luiza Alves Rizzo Autora, Leitora Crítica e Revisora de Matemática apaixonada por escrever. Especialista pela UFPI (2023) e Licenciada pela UFSM (2022), trabalha em projetos editoriais para o Ensino Fundamental, Ensino Médio e Pré-vestibular.
Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:
RIZZO, Maria Luiza Alves.
"O que é potenciação?"; Brasil Escola.
Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-potenciacao.htm. Acesso em 07 de novembro
de 2024.