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O que são relações métricas no triângulo retângulo?

O que é Matemática?

O que são relações métricas no triângulo retângulo? São expressões que relacionam apenas as medidas dos lados desse tipo de triângulo.
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As relações métricas são equações que relacionam as medidas dos lados e de alguns outros segmentos de um triângulo retângulo. Para definir essas relações, é importante conhecer esses segmentos.

Elementos do triângulo retângulo

A figura a seguir é um triângulo retângulo ABC, cujo ângulo reto é Â e é cortado pela altura AD:

Elementos do triângulo retângulo

Nesse triângulo, observe que:

  • A letra a é a medida da hipotenusa;

  • As letras b e c são as medidas dos catetos;

  • A letra h é a medida da altura do triângulo retângulo;

  • A letra n é a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa;

  • A letra m é a projeção do cateto BA sobre a hipotenusa.

Teorema de Pitágoras: primeira relação métrica

O teorema de Pitágoras é o seguinte: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Ele é válido para todos os triângulos retângulos e pode ser escrito da seguinte maneira:

a2 = b2 + c2

*a é hipotenusa, b e c são catetos.

Exemplo:

Qual é a medida da diagonal de um retângulo cujo lado maior mede 20 cm e o lado menor mede 10 cm?

Solução:

A diagonal de um retângulo divide-o em dois triângulos retângulos. Essa diagonal fica sendo a hipotenusa, como mostra a figura a seguir:

Diagonal de um retângulo

Para calcular a medida dessa diagonal, basta usar o teorema de Pitágoras:

a2 = b2 + c2

a2 = 202 + 102

a2 = 400 + 100

a2 = 500

a = √500

a = 22,36 cm, aproximadamente.

Segunda relação métrica

A hipotenusa do triângulo retângulo é igual à soma das projeções de seus catetos sobre a hipotenusa, ou seja:

a = m + n

Terceira relação métrica

O quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual ao produto das projeções de seus catetos sobre a hipotenusa. Matematicamente:

h2 = m·n

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Assim, se for necessário descobrir a medida da hipotenusa conhecendo apenas as medidas das projeções, poderemos usar essa relação métrica.

Exemplo:

Um triângulo cujas projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 10 e 40 centímetros tem que altura?

h2 = m·n

h2 = 10·40

h2 = 400

h = √400

h = 20 centímetros.

Quarta relação métrica

É usada para descobrir a medida de um cateto quando as medidas de sua projeção sobre a hipotenusa e a própria hipotenusa são conhecidas:

c2 = an

e

b2 = an

Perceba que b é a medida do cateto AC, e n é a medida de sua projeção sobre a hipotenusa. O mesmo vale para c.

Exemplo:

Sabendo que a hipotenusa de um triângulo retângulo mede 16 centímetros e que uma de suas projeções mede 4 centímetros, calcule a medida do cateto adjacente a essa projeção.

Solução:

O cateto adjacente a uma projeção pode ser encontrado a partir de qualquer uma dessas relações métricas: c2 = am ou b2 = an, pois o exemplo não especifica o cateto em questão. Assim:

c2 = a·m

c2 = 16·4

c2 = 64

c = √64

c = 8 centímetros.

Quinta relação métrica

O produto entre a hipotenusa (a) e a altura (h) de um triângulo retângulo é sempre igual ao produto entre as medidas de seus catetos.

ah = bc

Exemplo:

Qual é a área de um triângulo retângulo cujos lados possuem as seguintes medidas: 10, 8 e 6 centímetros?

Solução:

10 centímetros é a medida do maior lado, portanto, esse é a hipotenusa e os outros dois são catetos. Para encontrar a área, é necessário saber a altura, logo, usaremos essa relação métrica para encontrar a altura desse triângulo e depois calcularemos sua área.

a·h = b·c

10·h = 8·6

10·h = 48

h = 48
     10

h = 4,8 centímetros.

A = 10·4,8
       2

A = 48
      2

A = 24 cm2


Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

Elas são modos de relacionar as medidas dos lados de triângulos retângulos
Elas são modos de relacionar as medidas dos lados de triângulos retângulos

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "O que são relações métricas no triângulo retângulo?"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-relacoes-metricas-no-triangulo-retangulo.htm. Acesso em 22 de outubro de 2019.

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