A lei dos cossenos é uma relação trigonométrica usada para relacionar lados e ângulos de um triângulo qualquer, isto é, aquele triângulo que não possui, necessariamente, um ângulo reto. Observe o seguinte triângulo ABC com as medidas em destaque:
A lei dos cossenos pode ser dada por uma das seguintes expressões:
a2 = b2 + c2 – 2·b·c·cosα
b2 = a2 + c2 – 2·a·c·cosβ
c2 = b2 + a2 – 2·b·a·cosθ
Observação: Não é necessário decorar essas três fórmulas. Basta saber que a lei dos cossenos sempre pode ser construída. Observe, na primeira expressão, que o α é o ângulo oposto ao lado cuja medida é dada por a. Começamos a fórmula pelo quadrado do lado oposto ao ângulo que será usado nos cálculos. Ele será igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos duas vezes o produto dos dois lados que não são opostos a esse ângulo pelo cosseno de α.
Dessa maneira, as três fórmulas acima podem ser reduzidas a:
a2 = b2 + c2 – 2·b·c·cosα
Desde que saibamos que “a” é a medida do lado oposto a “α”, e que “b” e “c” são as medidas dos outros dois lados do triângulo.
Demonstração
Dado o triângulo ABC qualquer, com as medidas em destaque na seguinte figura:
Considere os triângulos ABD e BCD formados pela altura BD do triângulo ABC. Usando o teorema de Pitágoras em ABD, teremos:
c2 = x2 + h2
h2 = c2 – x2
Usando o mesmo teorema para o triângulo BCD, teremos:
a2 = y2 + h2
h2 = a2 – y2
Sabendo que h2 = c2 – x2, teremos:
c2 – x2 = a2 – y2
c2 – x2 + y2 = a2
a2 = c2 – x2 + y2
Observe na figura do triângulo que b = x + y, em que y = b – x. Substituindo esse valor no resultado obtido antes, teremos:
a2 = c2 – x2 + y2
a2 = c2 – x2 + (b – x)2
a2 = c2 – x2 + b2 – 2bx + x2
a2 = c2 + b2 – 2bx
Ainda observando a figura, perceba que:
cosα = x
c
c·cosα = x
x = c·cosα
Substituindo esse resultado na expressão anterior, teremos:
a2 = c2 + b2 – 2bx
a2 = c2 + b2 – 2b·c·cosα
Essa é exatamente a primeira das três expressões apresentadas antes. As outras duas podem ser obtidas de maneira análoga a essa.
Exemplo – No triângulo a seguir, calcule a medida de x.
Solução:
Usando a lei dos cossenos, perceba que x é a medida do lado oposto ao ângulo de 60°. Sendo assim, o primeiro “número” a aparecer na solução deve ser ele:
x2 = 102 + 102 – 2·10·10·cos60°
x2 = 100 + 100 – 2·100·cos60°
x2 = 200 – 200·cos60°
x2 = 200 – 200·1
2
x2 = 200 – 100
x2 = 100
x = ± √100
x = ± 10
Como não existem comprimentos negativos, o resultado deve ser apenas o valor positivo, isto é, x = 10 cm.
Por Luiz Moreira
Graduado em Matemática
Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:
SILVA, Luiz Paulo Moreira. "O que é lei dos cossenos?"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-lei-dos-cossenos.htm. Acesso em 12 de abril de 2021.
