Notificações
Você não tem notificações no momento.
Novo canal do Brasil Escola no
WhatsApp!
Siga agora!
Whatsapp icon Whatsapp
Copy icon

O que é fatoração de polinômios?

O que é fatoração de polinômios? É um conjunto de técnicas que se baseia nas propriedades da multiplicação para reescrever polinômios na forma de produto.

A fatoração de polinômios consiste em escrevê-los na forma de produto
A fatoração de polinômios consiste em escrevê-los na forma de produto
Imprimir
Texto:
A+
A-

PUBLICIDADE

Fatoração de polinômios é um conteúdo matemático que reúne técnicas para escrevê-los em forma de produto entre monômios ou até mesmo entre outros polinômios. Essa decomposição é baseada no teorema fundamental da aritmética, que garante o seguinte:

Todo número inteiro maior que 1 pode ser decomposto

em um produto de números primos.

As técnicas usadas para fatorar polinômios – chamadas de casos de fatoração – baseiam-se nas propriedades da multiplicação, em especial na propriedade distributiva. Os seis casos de fatoração de polinômios são os seguintes:

1º caso de fatoração: fator comum em evidência

Observe, no polinômio a seguir, que existe um fator repetindo-se em cada um de seus termos.

4x + ax

Para escrever esse polinômio na forma de produto, coloque esse fator que se repete em evidência. Para isso, basta fazer o processo inverso da propriedade distributiva da seguinte maneira:

x(4 + a)

Observe que, aplicando a propriedade distributiva nessa fatoração, teremos justamente o polinômio inicial. Veja outro exemplo do primeiro caso de fatoração:

4x3 + 6x2

4x3 + 6x2 = 2·2xxx + 2·3xx = 2xx(2x + 3) = 2x2(2x + 3)

Para mais informações sobre esse caso de fatoração, consulte o texto Fatoração: Fator comum em evidência aqui.

2° caso de fatoração: agrupamento

Pode ser que, ao colocar fatores comuns em evidência, o resultado seja um polinômio que ainda possui fatores comuns. Então, devemos fazer um segundo passo: colocar fatores comuns em evidência novamente.

Assim, a fatoração por agrupamento é uma dupla fatoração por fator comum.

Exemplo:

xy + 4y + 5x + 20

Na primeira fatoração, colocaremos os termos comuns em evidência da seguinte maneira:

y(x + 4) + 5(x + 4)

Observe que o polinômio resultante possui, em seus termos, o fator comum x + 4. Colocando-o em evidência, teremos:

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

(x + 4)(y + 5)

Para mais informações e exemplos sobre esse caso de fatoração, consulte o texto Agrupamento clicando aqui.

3º caso de fatoração: trinômio quadrado perfeito

Esse caso, basicamente, é o contrário de produtos notáveis. Observe o produto notável a seguir:

(x + 5)2 = x2 + 10x + 25

Na fatoração do trinômio quadrado perfeito, escrevemos polinômios expressos nessa forma como produto notável. Veja um exemplo:

4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)2

Observe que é preciso garantir que o polinômio é realmente um trinômio quadrado perfeito para fazer esse procedimento. Os processos para essa garantia podem ser encontrados aqui.

4º caso de fatoração: diferença de dois quadrados

Polinômios conhecidos como diferença de dois quadrados possuem esta forma:

x2 – a2

A sua fatoração é o produto notável conhecido como produto da soma pela diferença. Observe o resultado da fatoração desse polinômio:

x2 – a2 = (x + a)(x – a)

Para mais exemplos e informações sobre esse caso de fatoração, leia o texto Diferença de dois quadrados aqui.

5º caso de fatoração: soma de dois cubos

Todo polinômio de grau 3 escrito na forma x3 + y3 pode ser fatorado da seguinte maneira:

x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)

Para mais exemplos e informações sobre esse caso de fatoração, leia o texto Diferença de dois cubos aqui.

6º caso de fatoração: diferença de dois cubos

Todo polinômio de grau 3 escrito na forma x3 – y3 pode ser fatorado da seguinte maneira:

x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)

Para mais exemplos e informações sobre esse caso de fatoração, leia o texto Soma de dois cubos aqui.


Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

Escritor do artigo
Escrito por: Luiz Paulo Moreira Silva Escritor oficial Brasil Escola

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "O que é fatoração de polinômios?"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-fatoracao-polinomios.htm. Acesso em 11 de outubro de 2024.

De estudante para estudante


Artigos Relacionados


O que são equações incompletas do segundo grau?

Clique e aprenda o que são equações incompletas do segundo grau e conheça um método simples de resolvê-las.
O que é Matemática?

O que é Monômio?

Você sabe o que é um monômio? Aprenda sua definição e como são realizadas operações entre os monômios.
O que é Matemática?

O que é multiplicação?

Você sabe o que é multiplicação? Clique aqui, entenda essa operação matemática, aprenda como calculá-la e conheça suas propriedades.
O que é Matemática?

O que é o método de completar quadrados?

Clique para aprender o que é o método de completar quadrados, uma das técnicas que podem ser usadas para calcular equações do segundo grau.
O que é Matemática?

Classes de polinômios

Já ouviu falar em classes de polinômios? Acesse e descubra quais são elas!
Matemática

Redução de polinômio

Aprenda a reunir monômios semelhantes e consiga realizar a redução polinomial.
Matemática

Subtração de polinômios

Descubra como subtrair polinômios. Veja exemplos e pratique essa operação por meio de exercícios.
Matemática

Diferença de dois cubos

Aprenda a resolver o caso de fatoração de polinômios conhecido como diferença de dois cubos e veja exercícios resolvidos sobre o assunto.
Matemática

Soma de dois cubos

Clique aqui e conheça a fatoração da soma de dois cubos e aprenda a utilizar a fórmula. Resolva também os exercícios propostos sobre esse assunto.
Matemática

Diferença de dois quadrados

Fatoração de expressão algébrica, Binômio, O que é binômio, Forma fatorada da expressão algébrica, Soma e produto de expressões, 5º caso de fatoração, Subtração.
Matemática

Trinômio do Quadrado Perfeito

Estudo do trinômio do quadrado perfeito.
Matemática

Agrupamento

Fator comum, Expressão algébrica, Termo em evidência, Fatoração, Fatoração de expressão algébrica, Agrupamento, 2º caso de fatoração, Caso de fatoração, Agrupamento de termos semelhantes.
Matemática

Fatoração: Fator Comum em Evidência

Fatorando uma expressão algébrica, fator comum em evidência.
Matemática

Multiplicação de polinômios

Clique aqui e descubra como utilizar a propriedade distributiva na multiplicação de polinômios.
Matemática