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O que é fatoração de polinômios?

O que é fatoração de polinômios? É um conjunto de técnicas que se baseia nas propriedades da multiplicação para reescrever polinômios na forma de produto.

A fatoração de polinômios consiste em escrevê-los na forma de produto
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Fatoração de polinômios é um conteúdo matemático que reúne técnicas para escrevê-los em forma de produto entre monômios ou até mesmo entre outros polinômios. Essa decomposição é baseada no teorema fundamental da aritmética, que garante o seguinte:

Todo número inteiro maior que 1 pode ser decomposto

em um produto de números primos.

As técnicas usadas para fatorar polinômios – chamadas de casos de fatoração – baseiam-se nas propriedades da multiplicação, em especial na propriedade distributiva. Os seis casos de fatoração de polinômios são os seguintes:

1º caso de fatoração: fator comum em evidência

Observe, no polinômio a seguir, que existe um fator repetindo-se em cada um de seus termos.

4x + ax

Para escrever esse polinômio na forma de produto, coloque esse fator que se repete em evidência. Para isso, basta fazer o processo inverso da propriedade distributiva da seguinte maneira:

x(4 + a)

Observe que, aplicando a propriedade distributiva nessa fatoração, teremos justamente o polinômio inicial. Veja outro exemplo do primeiro caso de fatoração:

4x3 + 6x2

4x3 + 6x2 = 2·2xxx + 2·3xx = 2xx(2x + 3) = 2x2(2x + 3)

Para mais informações sobre esse caso de fatoração, consulte o texto Fatoração: Fator comum em evidência aqui.

2° caso de fatoração: agrupamento

Pode ser que, ao colocar fatores comuns em evidência, o resultado seja um polinômio que ainda possui fatores comuns. Então, devemos fazer um segundo passo: colocar fatores comuns em evidência novamente.

Assim, a fatoração por agrupamento é uma dupla fatoração por fator comum.

Exemplo:

xy + 4y + 5x + 20

Na primeira fatoração, colocaremos os termos comuns em evidência da seguinte maneira:

y(x + 4) + 5(x + 4)

Observe que o polinômio resultante possui, em seus termos, o fator comum x + 4. Colocando-o em evidência, teremos:

(x + 4)(y + 5)

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Para mais informações e exemplos sobre esse caso de fatoração, consulte o texto Agrupamento clicando aqui.

3º caso de fatoração: trinômio quadrado perfeito

Esse caso, basicamente, é o contrário de produtos notáveis. Observe o produto notável a seguir:

(x + 5)2 = x2 + 10x + 25

Na fatoração do trinômio quadrado perfeito, escrevemos polinômios expressos nessa forma como produto notável. Veja um exemplo:

4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)2

Observe que é preciso garantir que o polinômio é realmente um trinômio quadrado perfeito para fazer esse procedimento. Os processos para essa garantia podem ser encontrados aqui.

4º caso de fatoração: diferença de dois quadrados

Polinômios conhecidos como diferença de dois quadrados possuem esta forma:

x2 – a2

A sua fatoração é o produto notável conhecido como produto da soma pela diferença. Observe o resultado da fatoração desse polinômio:

x2 – a2 = (x + a)(x – a)

Para mais exemplos e informações sobre esse caso de fatoração, leia o texto Diferença de dois quadrados aqui.

5º caso de fatoração: soma de dois cubos

Todo polinômio de grau 3 escrito na forma x3 + y3 pode ser fatorado da seguinte maneira:

x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)

Para mais exemplos e informações sobre esse caso de fatoração, leia o texto Diferença de dois cubos aqui.

6º caso de fatoração: diferença de dois cubos

Todo polinômio de grau 3 escrito na forma x3 – y3 pode ser fatorado da seguinte maneira:

x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)

Para mais exemplos e informações sobre esse caso de fatoração, leia o texto Soma de dois cubos aqui.


Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "O que é fatoração de polinômios?"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-fatoracao-polinomios.htm. Acesso em 24 de maio de 2022.

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