Produtos notáveis

Os produtos notáveis são multiplicações envolvendo polinômios que aparecem com frequência em problemas matemáticos de álgebra. Existem cinco casos importantes de produtos notáveis, são eles:

• quadrado da soma;
• quadrado da diferença;
• produto da soma pela diferença;
• cubo da soma;
• cubo da diferença.

O uso dos produtos notáveis pode facilitar na resolução de equações, na simplificação de expressões algébrica e na solução de problemas matemáticos. Tem aplicação no estudo de cálculo, de geometria analítica, de álgebra, entre outras áreas da Matemática.

Leia também: Como resolver equações do 1º grau

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre produtos notáveis
• 2 - Fórmulas dos produtos notáveis
• 3 - Como calcular os produtos notáveis?
  • Quadrado da soma
  • Quadrado da diferença 
  • Produto da soma pela diferença
  • Cubo da soma 
  • Cubo da diferença 
• 4 - Propriedades dos produtos notáveis
• 5 - Tabela de casos notáveis
• 6 - Exercícios sobre produtos notáveis

Resumo sobre produtos notáveis

• Produtos notáveis são expressões algébricas com propriedades específicas que permitem simplificar cálculos.
• Envolvem a multiplicação de binômios ou expressões polinomiais com padrões definidos.
• Os cinco casos de produtos notáveis são:

1. Quadrado da soma de dois termos:
   (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. Quadrado da diferença de dois termos:
   (a - b)² = a² - 2ab + b²
3. Produto da soma pela diferença de dois termos (diferença de quadrados):
   (a + b)(a - b) = a² - b²
4. Cubo da soma de dois termos:
   (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
5. Cubo da diferença de dois termos:
   (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Fórmulas dos produtos notáveis

Cada um dos cinco casos de produtos notáveis tem uma fórmula específica:

• Quadrado da soma de dois termos:
  (a + b)² = a² + 2ab + b²
• Quadrado da diferença de dois termos:
  (a - b)² = a² - 2ab + b²
• Produto da soma pela diferença de dois termos (diferença de quadrados):
  (a + b)(a - b) = a² - b²
• Cubo da soma de dois termos:
  (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
• Cubo da diferença de dois termos:
  (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Como calcular os produtos notáveis?

Vejamos como calcular cada um dos cinco casos de produtos notáveis.

1. Quadrado da soma

Quando há a soma entre dois termos elevada ao quadrado:

• Expressão algébrica: (a + b)²
• Caso expandido: a² + 2ab + b²

De modo geral, temos que:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Exemplos:

1. Calcularemos o valor de (2x + 3)²:

(2x + 3)² = (2x)² + 2 · 2x · 3 + 3²

(2x + 3)² = 4x² + 12x + 9

2. Calcularemos o valor de (3x + 1)²:

(3x + 1)² = 3x² + 2 · 3x · 1 + 1²

(3x + 1)² = 9x² + 6x + 1

• Videoaula sobre o cálculo do quadrado da soma

2. Quadrado da diferença 

Quando há a diferença entre dois termos elevada ao quadrado:

• Expressão algébrica: (a - b)²
• Caso expandido: a² - 2ab + b²

De modo geral, temos que:

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Exemplos:

1. Calcularemos o valor de (2x - 1)²:

(2x - 1)² = (2x)² - 2 · 2x · 1 + 1²

(2x - 1)² = 4x² - 4x + 1

2. Calcularemos o valor de (x - 5)²:

(x - 5)² = x² - 2 · x · 5 + 5²

(x - 5)² = x² - 10 + 25

• Videoaula sobre o quadrado da diferença

3. Produto da soma pela diferença

Quando há um produto da soma de dois termos pela diferença entre esses mesmos dois termos:

• Expressão algébrica: (a + b)(a - b)
• Caso expandido: a² - b²

De modo geral, temos que:

(a + b)(a - b) = a² - b²

Exemplos:

1. Calcularemos o valor de (x + 2)(x - 2):

Aplicando a propriedade distributiva, temos que:

(x + 2)(x - 2) = x² - 2x + 2x - 2 · 2

(x + 2)(x - 2) = x² - 4

2. Calcularemos o valor de (2x + 3)(2x - 3):

(2x + 3)(2x - 3) = (2x)² + 2x · (- 3) + 3 · 2x + 3 · (-3)

(2x + 3)(2x - 3) = 4x² - 6x + 6x - 9

(2x + 3)(2x - 3) = 4x² - 9

• Videoaula sobre o produto da soma pela diferença

4. Cubo da soma 

Quando há a soma entre dois termos elevada ao cubo:

• Expressão algébrica: (a + b)³
• Caso expandido: a³ + 3a²b + 3ab² + b³

De modo geral, temos que:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Exemplos:

1. Calcularemos o valor de (x + 2)³:

(x + 2)³ = x³ + 3 · x² · 2 + 3 · x · 2² + 2³

(x + 2)³ = x³ + 6x² + 3 · x · 4 + 8

(x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8

2. Calcularemos o valor de (3x + 1)³:

(3x + 1)³ = 3x³ + 3 · 3x² · 1 + 3 · 3x · 1² + 1³

(3x + 1)³ = 27x³ + 27x² + 9x + 1

• Videoaula sobre o cubo da soma

5. Cubo da diferença 

Quando há a soma entre dois termos elevada ao cubo:

• Expressão algébrica: (a - b)³
• Caso expandido: a³ - 3a²b + 3ab² - b³

De modo geral, temos que:

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Exemplos:

1. Calcularemos o valor de (x - 2)³:

(x - 2)³ = x^{3 -} 3 · x² · 2 + 3 · x · 2² - 2³

(x - 2)³ = x³ - 6x² + 3 · x · 4 - 8

(x - 2)³ = x³ - 6x² + 12x - 8

2. Calcularemos o valor de (2x - 3)³:

(2x - 3)³ = (2x)³ - 3 · (2x)² · 3 + 3 · 2x · 3² - 3³

(2x - 3)³ = 8x³ - 36x² + 54x - 27

• Videoaula sobre o cubo da diferença

Propriedades dos produtos notáveis

• Simplificação de cálculos: Utilizar produtos notáveis torna operações algébricas complexas mais rápidas e diretas.

Exemplo:

Calcularemos o valor de:

(a + b)² - (a - b)²

Resolução:

Primeiro desenvolveremos ambos os produtos notáveis:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Substituindo, temos que:

(a + b)² - (a - b)²= a² + 2ab + b² - (a² - 2ab + b²)

(a + b)² - (a - b)²=a² + 2ab + b² - a² + 2ab - b²

(a + b)² - (a - b)² = 4ab

• Reversibilidade: Muitas expressões podem ser fatoradas usando os produtos notáveis.

Realizar a fatoração de um polinômio pode ajudar, e muito, na resolução de problemas   envolvendo álgebra. Sendo assim, é importante saber transformar o caso expandido na expressão algébrica do produto notável.

Exemplo:

Simplificaremos a fração:

\(\frac{ x^2 + 2xy + y^2}{x^2 - y^2}\)

Primeiro sabemos que, no numerador, temos um quadrado da soma, logo, podemos reescrevê-lo:

\(x^2+2xy+y^2=(x+y)2\)

No denominador, temos a diferença de dois quadrados, que é o resultado do produto da soma pela diferença, logo, o denominador pode ser reescrito como:

\(x^2-y^2=(x+y)(x-y)\)

Então encontraremos:

\(\frac{(x+y)^2}{(x+y)(x-y)}\)

Como o termo (x + y) aparece tanto no numerador quanto no denominador, ao simplificar teremos a seguinte expressão:

\(\frac{x+y}{x-y}\)

Leia também: Como resolver frações algébricas

Tabela de casos notáveis

A tabela a seguir contém o nome do produto notável, sua expressão algébrica e o caso expandido.

Exercícios sobre produtos notáveis

Questão 1

Um contador em uma empresa foi questionado sobre o número de relatórios que ele revisou em determinado dia. Ele respondeu: “O número de relatórios que revisei é igual a (14,5)² − (9,5)². Chamando Y o total de relatórios revisados, é correto afirmar que esse total foi de:

A) 90 relatórios
B) 115 relatórios
C) 120 relatórios
D) 125 relatórios
E) 135 relatórios

Resolução:

Alternativa C

Para resolver a questão usando o produto da soma pela diferença, aplicamos a fórmula geral:

(a + b) · (a - b) = a² - b²

O contador afirmou que o número de relatórios revisados foi igual a:

Y = (14,5)² - (9,5)²

Podemos aplicar a fórmula com:

• a = 14,5
• b = 9,5

Substituindo na fórmula:

Y = (14,5 + 9,5) ⋅ (14,5 - 9,5)

Calculando os valores:

Y = 24 · 5

Y = 120

Questão 2

Um engenheiro está calculando o volume de dois reservatórios conectados em um projeto. Ele descobriu que a diferença entre o volume dos dois reservatórios pode ser representada pela expressão (3y - 4)(3y + 4) - (3y - 4)². Ao simplificar essa expressão, qual é o polinômio resultante que representa a diferença de volumes?

1. 24y
2. 24y – 32
3. 9y³ + 12y²
4. 32
5. 3y – 36

Resolução:

Alternativa B

Calcularemos o valor da expressão algébrica:

(3y - 4)(3y + 4) - (3y - 4)²

Sabemos que o primeiro produto é o produto da soma pela diferença, então temos que:

(3y)² - 4² - (3y - 4)²

9y² - 16 - (3y - 4)²

O termo (3y - 4)² é um produto notável conhecido como quadrado da diferença. Desenvolvendo o termo, temos que:

9y² - 16 - (9y² - 2 · 3y · 4 + 16)

9y² - 16 - 9y² +24y - 16

24y - 32

Fontes

Dante, L. R. (2017). Matemática: Contexto e Aplicações. 1ª edição. Editora Ática.

Boldrini, José Luiz et al.: Álgebra Linear. 3ª ed. Harbra, 1986.