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Multiplicação de polinômios

Para fazer a multiplicação de polinômios, devemos aplicar a propriedade distributiva multiplicando cada termo do primeiro polinômio por cada termo do segundo polinômio.

Multiplicação de polinômios de grau 1.
Multiplicação de polinômios de grau 1. (Créditos: Paulo José Soares Braga | Brasil Escola)
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A multiplicação de polinômios é uma operação entre expressões algébricas (expressões matemáticas que contêm números e letras). Diferentemente da adição e subtração de polinômios, em que a operação é realizada apenas entre os coeficientes dos termos semelhantes, a multiplicação ocorre também entre as partes literais. A propriedade distributiva é fundamental na operação de multiplicação entre polinômios, pois cada termo de um polinômio deve ser operado com cada termo do outro polinômio.

Leia também: Como fazer a divisão de polinômios?

Tópicos deste artigo

Resumo sobre multiplicação de polinômios

  • A multiplicação de polinômios é uma operação em que cada termo do primeiro polinômio é multiplicado por cada termo do segundo polinômio.
  • Os conceitos fundamentais aplicados na multiplicação de polinômios são: a regra de sinais, a propriedade distributiva e a propriedade da multiplicação entre potências de mesma base.
  • A regra de sinais determina que o produto entre termos de mesmo sinal resulta em um termo positivo e o produto entre termos de sinais diferentes resulta em um termo negativo.
  • A propriedade distributiva estabelece que:

\(a\cdot\left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c\)

  • A propriedade da multiplicação entre potências de mesma base indica que:

\(x^m\cdot x^n=x^{m+n}\)

Como se faz a multiplicação de polinômios?

Para multiplicar polinômios (expressão algébrica formada por monômios), devemos aplicar a propriedade distributiva em cada termo envolvido. Na prática, esse processo consiste em multiplicações entre monômios. Dessa forma, é essencial dominar os seguintes conceitos:

  • Regra de sinais: determina que o produto entre termos de mesmo sinal resulta em um termo positivo e o produto entre termos de sinais diferentes resulta em um termo negativo:

\(\left(+\right)\cdot\left(+\right)=\left(+\right)\)

\(\left(-\right)\cdot\left(-\right)=\left(+\right)\)

\(\left(+\right)\cdot\left(-\right)=\left(-\right)\)

\(\left(-\right)\cdot\left(+\right)=\left(-\right)\)

  • Propriedade distributiva:

\(a\cdot\left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c\)

  • Propriedade da multiplicação entre potências de bases iguais:

\(x^m\cdot x^n=x^{m+n}\)

Importante: Neste texto utilizamos potências de x para indicar a parte literal dos polinômios, mas um polinômio pode apresentar outras letras na parte literal.

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Multiplicação entre polinômio e um número real

Na multiplicação entre polinômio e um número real, devemos empregar a propriedade distributiva entre o número real e cada um dos termos do polinômio (ou seja, cada monômio). Da multiplicação de um número b com um monômio \(ax^k\), temos que \(b\cdot ax^k=\left(b\cdot a\right)x^k\), ou seja, basta multiplicar o número real pelo coeficiente do monômio.

  • Exemplo 1:

2⋅(x 2+ 4x -1) = 2 x2 + 24x +2 ⋅ (-1) = 2x2 + 8x -2

  • Exemplo 2:

(5x3+8x2) ⋅ (-6) = 5x3 ⋅ (-6) + 8x2 ⋅ (-6) = -30x3 - 48x2

Multiplicação entre monômio e polinômio

Na multiplicação entre monômio e polinômio, devemos empregar a propriedade distributiva entre o monômio e cada um dos termos do polinômio. Nesse caso precisamos considerar a multiplicação entre as partes literais. Caso as potências de x multiplicadas possuam a mesma base, o resultado deve manter a base e somar os expoentes.

  • Exemplo 1:

7x (-x2 -3) = 7x (-x2) + 7x ⋅ (-3)= -7x3 - 21x

  • Exemplo 2:

(4x3 + 9x 2 -x + 1) ⋅ (x2) = 4x3x2 + 9x2 x2 + (-x) ⋅ x2 + 1 x2

= 4x5 + 9x4 - x3 + x2

Multiplicação de polinômio por polinômio

Na multiplicação de polinômio por polinômio, devemos empregar a propriedade distributiva multiplicando cada termo do primeiro polinômio por cada termo do segundo polinômio. Note que é o mesmo sistema utilizado na multiplicação entre monômio e polinômio.

  • Exemplo:

(x4+10) ⋅ (2x3+x) = x4 (2x3+x) + 10⋅ (2x3+x)

=x4 2x3 + x4 x + 102x3 + 10 x

=2x7 + x5 + 20x3 + 10x

Veja também: Equação polinomial — a equação caracterizada por ter um polinômio igualado a zero

Exercícios resolvidos sobre multiplicação de polinômios

Questão 1

Um terreno retangular possui \(x^2+7\) de comprimento e \(4x\ -1\) de largura para determinado valor de x. A área desse terreno pode ser expressa por:

A) \( 8x-7\)

B) \( 4x+6\)

C) \( {7x}^2+4x+6\)

D) \( 4x^3+x^2+7x+28\)

E) \( 4x^3-x^2+28x-7\)

Resolução:

Alternativa E

A área de um retângulo é dada pelo produto entre o comprimento e a largura, assim:

\(A_{\mathrm{terreno}}=\left(x^2+7\right)\cdot\left(4x-1\right)=x^2\cdot\left(4x-1\right)+7\cdot\left(4x-1\right)\)

\(A_{\mathrm{terreno}}=4x^3-x^2+28x-7\)

Questão 2

Considere os polinômios \(p=3x^2+x-5 \) e \(q=2x+2\). A soma dos coeficientes do polinômio pq é igual a:

A) –4

B) –8

C) –10

D) –12

E) –14

Resolução:

Alternativa A

O produto entre p e q é dado por:

\(\left(3x^2+x-5\right)\cdot\left(2x+2\right)=3x^2\cdot\left(2x+2\right)+x\cdot\left(2x+2\right)-5\cdot\left(2x+2\right)\)

\(=6x^3+6x^2+2x^2+2x-10x-10\)

\(=6x^3+8x^2-8x-10\)

A soma dos coeficientes é igual a \(6+8+\left(-8\right)+\left(-10\right)=-4\).

 

 

Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática

Escritor do artigo
Escrito por: Maria Luiza Alves Rizzo Autora, Leitora Crítica e Revisora de Matemática apaixonada por escrever. Especialista pela UFPI (2023) e Licenciada pela UFSM (2022), trabalha em projetos editoriais para o Ensino Fundamental, Ensino Médio e Pré-vestibular.

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

RIZZO, Maria Luiza Alves. "Multiplicação de polinômios"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/polinomio.htm. Acesso em 29 de fevereiro de 2024.

De estudante para estudante


Videoaulas


Lista de exercícios


Exercício 1

O produto entre os polinômios A e B, sendo que A = 2x + 4 e B = 2x – 4, é igual a:

A) 4x² - 16

B) 4x² + 16

C) 4x² + 8x + 16

D) 4x² - 8x – 16

E) 4x + 8

Exercício 2

Um retângulo possui lados medindo x + 2y e 3x – y. A medida da área desse retângulo pode ser expressa pelo polinômio:

A) 4x – 2y

B) 3x² - 2y²

C) 3x² + 3yx – y²

D) 3x² + 5xy – 2y²

E) 3x² + 6xy +2y²

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