Multiplicação de polinômios

A multiplicação de polinômios é uma operação entre expressões algébricas (expressões matemáticas que contêm números e letras). Diferentemente da adição e subtração de polinômios, em que a operação é realizada apenas entre os coeficientes dos termos semelhantes, a multiplicação ocorre também entre as partes literais. A propriedade distributiva é fundamental na operação de multiplicação entre polinômios, pois cada termo de um polinômio deve ser operado com cada termo do outro polinômio.

Leia também: Como fazer a divisão de polinômios?

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre multiplicação de polinômios
• 2 - Como se faz a multiplicação de polinômios?
• 3 - Multiplicação entre polinômio e um número real
• 4 - Multiplicação entre monômio e polinômio
• 5 - Exercícios resolvidos sobre multiplicação de polinômios

Adição de polinômios

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Divisão de polinômios

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Resumo sobre multiplicação de polinômios

• A multiplicação de polinômios é uma operação em que cada termo do primeiro polinômio é multiplicado por cada termo do segundo polinômio.
• Os conceitos fundamentais aplicados na multiplicação de polinômios são: a regra de sinais, a propriedade distributiva e a propriedade da multiplicação entre potências de mesma base.
• A regra de sinais determina que o produto entre termos de mesmo sinal resulta em um termo positivo e o produto entre termos de sinais diferentes resulta em um termo negativo.
• A propriedade distributiva estabelece que:

$a\cdot\left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c$

• A propriedade da multiplicação entre potências de mesma base indica que:

$x^m\cdot x^n=x^{m+n}$

Como se faz a multiplicação de polinômios?

Para multiplicar polinômios (expressão algébrica formada por monômios), devemos aplicar a propriedade distributiva em cada termo envolvido. Na prática, esse processo consiste em multiplicações entre monômios. Dessa forma, é essencial dominar os seguintes conceitos:

• Regra de sinais: determina que o produto entre termos de mesmo sinal resulta em um termo positivo e o produto entre termos de sinais diferentes resulta em um termo negativo:

$\left(+\right)\cdot\left(+\right)=\left(+\right)$

$\left(-\right)\cdot\left(-\right)=\left(+\right)$

$\left(+\right)\cdot\left(-\right)=\left(-\right)$

$\left(-\right)\cdot\left(+\right)=\left(-\right)$

• Propriedade distributiva:

$a\cdot\left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c$

• Propriedade da multiplicação entre potências de bases iguais:

$x^m\cdot x^n=x^{m+n}$

Importante: Neste texto utilizamos potências de x para indicar a parte literal dos polinômios, mas um polinômio pode apresentar outras letras na parte literal.

Multiplicação entre polinômio e um número real

Na multiplicação entre polinômio e um número real, devemos empregar a propriedade distributiva entre o número real e cada um dos termos do polinômio (ou seja, cada monômio). Da multiplicação de um número b com um monômio $ax^k$, temos que $b\cdot ax^k=\left(b\cdot a\right)x^k$, ou seja, basta multiplicar o número real pelo coeficiente do monômio.

• Exemplo 1:

2⋅(x ²+ 4x -1) = 2⋅ x² + 2⋅ 4x +2 ⋅ (-1) = 2x² + 8x -2

• Exemplo 2:

(5x³+8x²) ⋅ (-6) = 5x³ ⋅ (-6) + 8x² ⋅ (-6) = -30x³ - 48x²

Multiplicação entre monômio e polinômio

Na multiplicação entre monômio e polinômio, devemos empregar a propriedade distributiva entre o monômio e cada um dos termos do polinômio. Nesse caso precisamos considerar a multiplicação entre as partes literais. Caso as potências de x multiplicadas possuam a mesma base, o resultado deve manter a base e somar os expoentes.

• Exemplo 1:

7x ⋅ (-x² -3) = 7x ⋅ (-x²) + 7x ⋅ (-3)= -7x³ - 21x

• Exemplo 2:

(4x³ + 9x ² -x + 1) ⋅ (x²) = 4x³ ⋅ x² + 9x² ⋅ x² + (-x) ⋅ x2 + 1 ⋅ x²

= 4x⁵ + 9x⁴ - x³ + x²

Multiplicação de polinômio por polinômio

Na multiplicação de polinômio por polinômio, devemos empregar a propriedade distributiva multiplicando cada termo do primeiro polinômio por cada termo do segundo polinômio. Note que é o mesmo sistema utilizado na multiplicação entre monômio e polinômio.

• Exemplo:

(x⁴+10) ⋅ (2x³+x) = x⁴ ⋅ (2x³+x) + 10⋅ (2x³+x)

=x⁴ ⋅ 2x³ + x⁴ ⋅ x + 10⋅2x³ + 10 ⋅ x

=2x⁷ + x⁵ + 20x³ + 10x

Veja também: Equação polinomial — a equação caracterizada por ter um polinômio igualado a zero

Exercícios resolvidos sobre multiplicação de polinômios

Questão 1

Um terreno retangular possui $x^2+7$ de comprimento e $4x\ -1$ de largura para determinado valor de x. A área desse terreno pode ser expressa por:

A) $8x-7$

B) $4x+6$

C) ${7x}^2+4x+6$

D) $4x^3+x^2+7x+28$

E) $4x^3-x^2+28x-7$

Resolução:

Alternativa E

A área de um retângulo é dada pelo produto entre o comprimento e a largura, assim:

$A_{\mathrm{terreno}}=\left(x^2+7\right)\cdot\left(4x-1\right)=x^2\cdot\left(4x-1\right)+7\cdot\left(4x-1\right)$

$A_{\mathrm{terreno}}=4x^3-x^2+28x-7$

Questão 2

Considere os polinômios $p=3x^2+x-5$ e $q=2x+2$. A soma dos coeficientes do polinômio p⋅q é igual a:

A) –4

B) –8

C) –10

D) –12

E) –14

Resolução:

Alternativa A

O produto entre p e q é dado por:

$\left(3x^2+x-5\right)\cdot\left(2x+2\right)=3x^2\cdot\left(2x+2\right)+x\cdot\left(2x+2\right)-5\cdot\left(2x+2\right)$

$=6x^3+6x^2+2x^2+2x-10x-10$

$=6x^3+8x^2-8x-10$

A soma dos coeficientes é igual a $6+8+\left(-8\right)+\left(-10\right)=-4$.

Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática