O que é o método de completar quadrados?

Uma das técnicas usadas para resolver equações do segundo grau é o método conhecido como completar quadrados. Esse método consiste em interpretar a equação do segundo grau como um trinômio quadrado perfeito e escrever sua forma fatorada. Algumas vezes, esse simples procedimento já revela as raízes da equação.

Assim sendo, é necessário ter conhecimentos básicos a respeito de produtos notáveis, trinômio quadrado perfeito e fatoração de polinômios para usar essa técnica. Muitas vezes, contudo, ela permite que os cálculos sejam feitos “de cabeça”.

Portanto, relembraremos os três casos de produtos notáveis antes de demonstrar o método completar quadrados, que, por sua vez, será exposto em três casos diferentes.

Produtos notáveis e trinômios quadrados perfeitos

A seguir, veja o produto notável, o trinômio quadrado perfeito que é equivalente a ele e a forma fatorada desse trinômio, respectivamente. Para tanto, considere que x é incógnita e a é um número real qualquer.

(x + k)² = x² + 2kx + k² = (x + k)(x + k)

(x – k)² = x² – 2kx + k² = (x – k)(x – k)

A equação do segundo grau referente ao terceiro produto notável, conhecido como produto da soma pela diferença, pode ser resolvida por meio de uma técnica que torna os cálculos ainda mais fáceis. Em razão disso, ela não será considerada aqui.

A equação é trinômio quadrado perfeito

Se uma equação do segundo grau for trinômio quadrado perfeito, então será possível identificar seus coeficientes como: a = 1, b = 2k ou – 2k e c = k². Para verificar isso, basta comparar uma equação do segundo grau com um trinômio quadrado perfeito.

Sendo assim, na solução da equação do segundo grau x² + 2kx + k² = 0, sempre teremos a possibilidade de fazer:

x² + 2kx + k² = 0

(x + k)² = 0

√[(x + k)²] = √0
 

|x + k| = 0

x + k = 0
 

x = – k

– x – k = 0

x = – k

Assim, a solução é única e igual a – k.

Caso a equação seja x² – 2kx + k² = 0, poderemos fazer o mesmo:

x² – 2kx + k² = 0

(x – k)² = 0

√[(x – k)²] = √0

|x – k| = 0

x – k = 0

x = k

– x + k = 0

– x = – k

x = k

Portanto, a solução é única e igual a k.

Exemplo: Quais as raízes da equação x² + 16x + 64 = 0?

Observe que a equação é um trinômio quadrado perfeito, pois 2k = 16, em que k = 8, e k² = 64, em que k = 8. Assim, poderemos escrever:

x² + 16x + 64 = 0

(x + 8)² = 0

√[(x + 8)²] = √0

x + 8 = 0

x = – 8

Aqui o resultado foi simplificado, pois já sabemos que as duas soluções serão iguais ao mesmo número real.

A equação não é trinômio quadrado perfeito

Nos casos em que a equação do segundo grau não for um trinômio quadrado perfeito, poderemos considerar a seguinte hipótese para calcular seus resultados:

x² + 2kx + C = 0

Observe que, para essa equação transformar-se em um trinômio quadrado perfeito, basta substituir o valor de C pelo valor de k². Como se trata de uma equação, a única maneira de fazer isso é somando k² em ambos os membros, depois trocando o coeficiente C de membro. Observe:

x² + 2kx + C = 0

x² + 2kx + C + k² = 0 + k²

x² + 2kx + k² = k² – C

Depois desse procedimento, poderemos prosseguir com a técnica anterior, transformando o trinômio quadrado perfeito em produto notável e calculando as raízes quadradas em ambos os membros.

x² + 2kx + k² = k² – C

(x + k)² = k² – C

√[(x + k)²] = √(k² – C)

x + k = ± √(k² – C)

O sinal ± aparece sempre que o resultado de uma equação for uma raiz quadrada, pois, nesses casos, o resultado da raiz quadrada é um módulo, como mostrado no primeiro exemplo. Para finalizar, falta apenas fazer:

x = – k ± √(k² – C)

Assim, essas equações possuem dois resultados reais e distintos, ou nenhum resultado real quando C > k².

Como exemplo, calcule as raízes de x² + 6x + 8 = 0.

Solução: Observe que 6 = 2·3x. Logo, k = 3 e, por isso, k² = 9. Portanto, o número que devemos somar em ambos os membros é igual a 9:

x² + 6x + 8 = 0

x² + 6x + 8 + 9 = 0 + 9

x² + 6x + 9 = 9 – 8

x² + 6x + 9 = 1

(x + 3)² = 1

√[(x + 3)²] = ± √1

x + 3 = ± 1

x = ± 1 – 3

x’ = 1 – 3 = – 2

x’’ = – 1 – 3 = – 4

Caso em que o coeficiente a ≠ 1

Quando o coeficiente a, da equação do segundo grau, é diferente de 1, basta dividir toda a equação pelo valor numérico do coeficiente a para, depois, aplicar um dos dois métodos anteriores.

Assim, na equação 2x² + 32x + 128 = 0, temos a raiz única igual a 8, pois:

2x² + 32x + 128 =  0  
2       2       2      2

x² + 16x + 64 = 0

E, na equação 3x² + 18x + 24 = 0, temos as raízes – 2 e – 4, pois:

3x² + 18x + 24 = 0
3         3      3     3

x² + 6x + 8 = 0

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática