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A subtração de polinômios é uma operação entre expressões algébricas. Para subtrair polinômios devemos subtrair os coeficientes dos termos semelhantes, agrupando os termos com a mesma parte literal. Perceba que a lógica que acompanha esse processo também é utilizada na adição de polinômios.
Por exemplo, a diferença entre o polinômio \(2x^2-6x\) e o polinômio \(x^2+3\) é \((2-1) x^2+(-6-3)x=x^2-9x\).
Leia também: Como fatorar polinômios?
Tópicos deste artigo
- 1 - Resumo sobre subtração de polinômios
- 2 - Como fazer a subtração de polinômios?
- 3 - Exemplos de subtração de polinômios
- 4 - Exercícios resolvidos sobre subtração de polinômios
Resumo sobre subtração de polinômios
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A subtração de polinômios é uma operação que agrupa termos com a mesma parte literal.
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É fundamental conhecer e aplicar a regra de sinais na subtração de polinômios.
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Se os polinômios possuem graus diferentes, os termos que “faltam” podem ser expressos por um coeficiente nulo.
Como fazer a subtração de polinômios?
Para subtrair polinômios precisamos subtrair os coeficientes dos termos semelhantes, ou seja, dos termos com a mesma parte literal. Em outras palavras, se p e q são polinômios e buscamos \(p-q\), devemos subtrair o termo independente de p do termo independente de q, depois subtrair o coeficiente do termo com x de p do coeficiente do termo com x de q e assim por diante para todos os termos de p e q. É importante destacar que o funcionamento da subtração de polinômios segue a mesma ideia da adição de polinômios.
Observação: Neste texto vamos utilizar potências de x para indicar a parte literal dos polinômios, mas um polinômio pode apresentar outras letras na parte literal.
Vejamos a representação formal da subtração de polinômios antes de verificar alguns exemplos.
Considere dois polinômios de grau n, representados por
\(a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+⋯+a_n x^n\)
\(b_0+b_1 x+b_2 x^2+b_3 x^3+⋯+b_n x^n\)
A subtração entre os dois polinômios é dada por:
\((a_0-b_0 )+(a_1-b_1 )x+(a_2-b_2 ) x^2+(a_3-b_3 ) x^3+⋯+(a_n-b_n ) x^n\)
Note que essa expressão é obtida ao utilizar a regra de sinais:
\((a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+⋯+a_n x^n )-(b_0+b_1 x+b_2 x^2+b_3 x^3+⋯+b_n x^n )\)
\(=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+⋯+a_n x^n-b_0-b_1 x-b_2 x^2-b_3 x^3-…-b_n x^n\)
\(=\color{red}{a_0-b_0}+\color{blue}{a_1 x-b_1 x}+\color{green}{a_2 x^2-b_2 x^2}+\color{purple}{a_3 x^3-b_3 x^3}+⋯+\color{orange}{a_n x^n-b_n x^n}\)
\(=\color{red}{(a_0-b_0 )}+\color{blue}{(a_1-b_1 )x}+\color{green}{(a_2-b_2 ) x^2}+\color{purple}{(a_3-b_3 ) x^3}+⋯+\color{orange}{(a_n-b_n ) x^n}\)
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Observação 1: Os coeficientes são números reais e, portanto, podem assumir valores positivos ou negativos. Consequentemente, é necessário utilizar a regra de sinais ao subtrair polinômios.
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Observação 2: Caso um ou mais termos estejam expressos em apenas um dos polinômios, podemos representá-los no outro polinômio com um coeficiente nulo. Por exemplo, o polinômio \(5x^3 \) pode ser escrito como \(5x^3+0x^2+0x+0\). Esse tipo de representação é particularmente importante na construção de uma subtração de polinômios, como veremos a seguir.
Exemplos de subtração de polinômios
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\((\color{purple}9x\color{green}{+1})-(\color{purple}7x\color{green}{-2})=(\color{purple}{9-7})x+(\color{green}{1-(-2)})= \color{purple}2x\color{green}{ +3}\)
Note que isso é equivalente a “distribuir” o símbolo da subtração, ou seja, a aplicar a regra de sinais:
\((9x+1)\color{red}{-(7x-2)}= 9x + 1 \color{red}{-7x +2} = 9x-7x +1 +2 = 2x+3\)
Importante: Perceba que, devido à regra de sinais, o sinal de cada termo do segundo polinômio é alterado.
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\((\color{blue}4x^2\color{green}{–6}x\color{orange}{+8})-(x^2-1)=(\color{blue}{4-1}) x^2+(\color{green}{-6-0})x+(\color{orange}{8-(-1)})\)
\(=\color{blue}3x^2\color{green}{-6}x\color{orange}{+9}\)
Isso é equivalente a
\((4x^2–6x+8)\color{red}{-(x^2-1)}=4x^2-6x+8\color{red}{-x^2+ 1}\)
\(=4x^2-x^2-6x+8+1=3x^2-6x+9\)
Leia também: Como fazer divisão de polinômios?
Exercícios resolvidos sobre subtração de polinômios
Questão 1
Classifique cada afirmação abaixo em V (verdadeira) ou F (falsa).
I. Na subtração de polinômios não é necessário utilizar a regra de sinais.
II. Se p é um polinômio de grau n e q é um polinômio de grau m, com n > m, então o polinômio \(p-q\) é de grau n.
III. \( (x^3+2x)-(x^2+3)=x-1\)
A ordem correta, de cima para baixo, é
a) V-V-V
b) F-V-F
c) V-F-V
d) V-F-F
e) F-F-F
Resolução
I. Falsa. A regra de sinais é fundamental na subtração de polinômios.
II. Verdadeira.
III. Falsa. \( (x^3+2x)-(x^2+3)=x^3-x^2+2x-3\)
Alternativa B.
Questão 2
Se \((rx^5-3x^2+x)-(x^5+sx^2-4x)=7x^5-12x^2+5x\), então os valores de r e s são, respectivamente, iguais a
a) -8 e 5
b) 9 e 7
c) -9 e 5
d) -8 e -9
e) 8 e 9
Resolução
Observe que
\((rx^5-3x^2+x)\color{red}{-(x^5+sx^2-4x)}=rx^5-3x^2+x\color{red}{-x^5-sx^2+4x}\)
Perceba que, a partir da diferença entre os polinômios, podemos comparar os coeficientes:
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Encontrando o valor de r
\(rx^5-x^5=7x^5\)
\((r-1) x^5=7x^5\)
\(r - 1 = 7\)
\(r = 8\)
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Encontrando o valor de s
\(-3x^2-sx^2=-12x^2\)
\((-3-s) x^2=-12x^2\)
\(-3-s = -12\)
\(s = 9\)
Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática