Subtração de polinômios

A subtração de polinômios é uma operação entre expressões algébricas. Para subtrair polinômios devemos subtrair os coeficientes dos termos semelhantes, agrupando os termos com a mesma parte literal. Perceba que a lógica que acompanha esse processo também é utilizada na adição de polinômios.

Por exemplo, a diferença entre o polinômio $2x^2-6x$ e o polinômio $x^2+3$ é $(2-1) x^2+(-6-3)x=x^2-9x$.

Leia também: Como fatorar polinômios?

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre subtração de polinômios
• 2 - Como fazer a subtração de polinômios?
• 3 - Exemplos de subtração de polinômios
• 4 - Exercícios resolvidos sobre subtração de polinômios

Expressões algébricas

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Polinômios

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Resumo sobre subtração de polinômios

• A subtração de polinômios é uma operação que agrupa termos com a mesma parte literal.

• É fundamental conhecer e aplicar a regra de sinais na subtração de polinômios.

• Se os polinômios possuem graus diferentes, os termos que “faltam” podem ser expressos por um coeficiente nulo.

Como fazer a subtração de polinômios?

Para subtrair polinômios precisamos subtrair os coeficientes dos termos semelhantes, ou seja, dos termos com a mesma parte literal. Em outras palavras, se p e q são polinômios e buscamos $p-q$, devemos subtrair o termo independente de p do termo independente de q, depois subtrair o coeficiente do termo com x de p do coeficiente do termo com x de q e assim por diante para todos os termos de p e q. É importante destacar que o funcionamento da subtração de polinômios segue a mesma ideia da adição de polinômios.

Observação: Neste texto vamos utilizar potências de x para indicar a parte literal dos polinômios, mas um polinômio pode apresentar outras letras na parte literal.

Vejamos a representação formal da subtração de polinômios antes de verificar alguns exemplos.

Considere dois polinômios de grau n, representados por

$a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+⋯+a_n x^n$

$b_0+b_1 x+b_2 x^2+b_3 x^3+⋯+b_n x^n$

A subtração entre os dois polinômios é dada por:

$(a_0-b_0 )+(a_1-b_1 )x+(a_2-b_2 ) x^2+(a_3-b_3 ) x^3+⋯+(a_n-b_n ) x^n$

Note que essa expressão é obtida ao utilizar a regra de sinais:

$(a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+⋯+a_n x^n )-(b_0+b_1 x+b_2 x^2+b_3 x^3+⋯+b_n x^n )$

$=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+⋯+a_n x^n-b_0-b_1 x-b_2 x^2-b_3 x^3-…-b_n x^n$

$=\color{red}{a_0-b_0}+\color{blue}{a_1 x-b_1 x}+\color{green}{a_2 x^2-b_2 x^2}+\color{purple}{a_3 x^3-b_3 x^3}+⋯+\color{orange}{a_n x^n-b_n x^n}$

$=\color{red}{(a_0-b_0 )}+\color{blue}{(a_1-b_1 )x}+\color{green}{(a_2-b_2 ) x^2}+\color{purple}{(a_3-b_3 ) x^3}+⋯+\color{orange}{(a_n-b_n ) x^n}$

• Observação 1: Os coeficientes são números reais e, portanto, podem assumir valores positivos ou negativos. Consequentemente, é necessário utilizar a regra de sinais ao subtrair polinômios.

• Observação 2: Caso um ou mais termos estejam expressos em apenas um dos polinômios, podemos representá-los no outro polinômio com um coeficiente nulo. Por exemplo, o polinômio $5x^3$ pode ser escrito como $5x^3+0x^2+0x+0$. Esse tipo de representação é particularmente importante na construção de uma subtração de polinômios, como veremos a seguir.

Exemplos de subtração de polinômios

• $(\color{purple}9x\color{green}{+1})-(\color{purple}7x\color{green}{-2})=(\color{purple}{9-7})x+(\color{green}{1-(-2)})= \color{purple}2x\color{green}{ +3}$

Note que isso é equivalente a “distribuir” o símbolo da subtração, ou seja, a aplicar a regra de sinais:

$(9x+1)\color{red}{-(7x-2)}= 9x + 1 \color{red}{-7x +2} = 9x-7x +1 +2 = 2x+3$

Importante: Perceba que, devido à regra de sinais, o sinal de cada termo do segundo polinômio é alterado.

• $(\color{blue}4x^2\color{green}{–6}x\color{orange}{+8})-(x^2-1)=(\color{blue}{4-1}) x^2+(\color{green}{-6-0})x+(\color{orange}{8-(-1)})$

$=\color{blue}3x^2\color{green}{-6}x\color{orange}{+9}$

Isso é equivalente a

$(4x^2–6x+8)\color{red}{-(x^2-1)}=4x^2-6x+8\color{red}{-x^2+ 1}$

$=4x^2-x^2-6x+8+1=3x^2-6x+9$

Leia também: Como fazer divisão de polinômios?

Exercícios resolvidos sobre subtração de polinômios

Questão 1

Classifique cada afirmação abaixo em V (verdadeira) ou F (falsa).

I. Na subtração de polinômios não é necessário utilizar a regra de sinais.

II. Se p é um polinômio de grau n e q é um polinômio de grau m, com n > m, então o polinômio $p-q$ é de grau n.

III. $(x^3+2x)-(x^2+3)=x-1$

A ordem correta, de cima para baixo, é

a) V-V-V

b) F-V-F

c) V-F-V

d) V-F-F

e) F-F-F

Resolução

I. Falsa. A regra de sinais é fundamental na subtração de polinômios.

II. Verdadeira.

III. Falsa. $(x^3+2x)-(x^2+3)=x^3-x^2+2x-3$

Alternativa B.

Questão 2

Se $(rx^5-3x^2+x)-(x^5+sx^2-4x)=7x^5-12x^2+5x$, então os valores de r e s são, respectivamente, iguais a

a) -8 e 5

b) 9 e 7

c) -9 e 5

d) -8 e -9

e) 8 e 9

Resolução

Observe que

$(rx^5-3x^2+x)\color{red}{-(x^5+sx^2-4x)}=rx^5-3x^2+x\color{red}{-x^5-sx^2+4x}$

Perceba que, a partir da diferença entre os polinômios, podemos comparar os coeficientes:

• Encontrando o valor de r

$rx^5-x^5=7x^5$

$(r-1) x^5=7x^5$

$r - 1 = 7$

$r = 8$

• Encontrando o valor de s

$-3x^2-sx^2=-12x^2$

$(-3-s) x^2=-12x^2$

$-3-s = -12$

$s = 9$

Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática