Topo
pesquisar

Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

Matemática

O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) é o menor múltiplo que dois ou mais números inteiros quaisquer possuem ao mesmo tempo.
PUBLICIDADE

O mínimo múltiplo comum (MMC) entre dois números inteiros x e y é o menor inteiro que é múltiplo de x e y simultaneamente. Dessa maneira, existe pelo menos uma forma de encontrar o MMC entre dois números x e y: procurar nos conjuntos dos múltiplos de x e de y o menor elemento comum. Evidentemente, existe um método prático para encontrar esse número, que será discutido em seguida. Contudo, é necessário compreender bem o conceito de múltiplos de um número inteiro.

O que são múltiplos?

Um número inteiro k é chamado de múltiplo de x se existe algum número natural n tal que n·x = k. Tomemos o exemplo do número 110. Ele é múltiplo de 10, pois 110 é o resultado da multiplicação de 10 pelo número natural 11.

Desse modo, é possível identificar se o número inteiro k é múltiplo de x por tentativa e erro ou fazendo a operação inversa da multiplicação (divisão). O número k é múltiplo de x se existe um número natural n tal que:

n = k
     x

Em outras palavras, para descobrir se 110 é múltiplo de 10, divida 110 por 10. Se o resultado encontrado for um número natural, 110 é múltiplo de 10; caso contrário, não.

Como o conjunto dos números naturais é infinito, o conjunto dos múltiplos de qualquer número inteiro também é infinito. Entretanto, para resolver exercícios envolvendo múltiplos e MMC, é bom escrever uma lista com os primeiros múltiplos de um número para obter uma análise melhor do comportamento de seus múltiplos.

Observe a seguir uma lista com os 10 primeiros múltiplos de 8, 10, 12, 20 e 40. São os 10 primeiros por serem resultados da multiplicação desses números com os 10 primeiros números naturais.

10 primeiros naturais: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80

Múltiplos de 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100

Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120

Múltiplos de 20: 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200

Múltiplos de 40: 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400


Mínimo Múltiplo Comum

Para encontrar o mínimo múltiplo comum entre dois números, encontre o menor múltiplo que eles possuem em comum. A primeira técnica usada para encontrar o mmc é procurá-lo entre os múltiplos dos dois números. Observe o exemplo:

O mínimo múltiplo comum entre 10 e 12 é 60, pois, entre os múltiplos de 10 e 12, 60 é o menor número que é múltiplo de ambos. Observe:

Múltiplos de 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100

Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120

Para esses dois números, que são pequenos, é fácil encontrar o MMC. Mas e quando for exigido o cálculo do MMC entre 256 e 384? Serão necessárias numerosas multiplicações cansativas caso queira prosseguir por esse método. Para tanto, existe um método prático que será discutido a seguir.

Método da decomposição para o cálculo do MMC

Para calcular o mínimo múltiplo comum entre dois números, você pode fazer a decomposição em fatores primos deles. Por exemplo, as decomposições em fatores primos de 10 e 12 são:

10 = 2·5

12 = 2·2·3 = 22·3

Observação: Sempre que aparecerem fatores repetidos, escreva-os em forma de potência, como foi feito na decomposição do número 12.

O MMC entre 10 e 12 será o produto dos fatores primos, exceto os fatores que se repetem e possuem o menor expoente. Desse modo, o mínimo será:

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

22·3·5 = 4·3·5 = 12·5 = 60

Observe que o fator 2, proveniente da decomposição do número 10, foi ignorado, pois o mesmo fator, proveniente da decomposição do número 12, estava elevado ao quadrado.

Com isso, calcular o MMC entre 256 e 384 pode ser mais fácil. Veja:

256 = 2·2·2·2·2·2·2·2 = 28

384 = 2·2·2·2·2·2·2·3 = 27·3

O MMC será o produto 28·3 = 256·3 = 768.

Exemplo 2: MMC entre 768 e 4608

768 = 28·3

4608 = 29·32

O MMC será o produto: 29·32.

Exemplo 3: Calcule o MMC entre 2700 e 4608

2700 = 33·22·52

4608 = 29·32

Observe que os fatores são 2, 3 e 5. Aqueles que possuem maiores expoentes são 29, 33 e 52. Logo, o MMC será:

29·33·52 = 345600


Método prático para calcular o MMC

É possível notar que, para decompor números em fatores primos, é preciso dividi-los pelo menor divisor primo possível e ainda ignorar os fatores que se repetem em uma mesma divisão. Existe um método capaz de fazer essa tarefa. Para ensiná-lo, utilizaremos o exemplo do MMC entre 1000 e 1024.

Escreva esses dois números lado a lado, separados por vírgula, e passe um traço lateral vertical à direita deles:

1000, 1024 |
                   |
                   |

À direita desse traço, escreva o menor número primo que divide pelo menos um entre 1000 e 1024. Nesse caso, o número é 2 e divide ambos.

1000, 1024 | 2
                   |   
                   |   

Logo abaixo de cada um deles, escreva o resultado de sua divisão por 2 e, para esses resultados, repita o procedimento acima até que não seja mais possível dividir nenhum dos dois números por 2.

1000, 1024 |2 
   500, 512 |2
   250, 256 |2
   125, 128 |2
      125, 64|2
     125, 32 |2
     125, 16 |2
       125, 8 |2
       125, 4 |2
       125, 2 |2
       125, 1 |  

Observe que, em determinado momento, encontramos o resultado 125 na coluna do número 1000, mas 125 não é divisível por 2. Já na coluna do número 1024, só obtemos resultados divisíveis por 2. Nesse caso, continuamos a dividir os números da coluna de 1024 por 2 e repetimos o número 125.

Quando os números presentes tanto na coluna de 1000 quanto na de 1024 não forem mais divisíveis por 2, tente o próximo primo: o número 3. Quando não houver mais divisores de 3, tente o próximo e assim até obter o resultado “1, 1”. No caso do exemplo, 125 não é divisível por 3, mas, sim, por 5, então, repetiremos o processo colocando 5 à direita do traço. Observe:

1000, 1024 |2
   500, 512 |2
   250, 256 |2
   125, 128 |2
      125, 64|2
     125, 32 |2
     125, 16 |2
       125, 8 |2
       125, 4 |2
       125, 2 |2
       125, 1 |5
         25, 1 |5
           5, 1 |5
           1, 1 | 

Feito isso, multiplique os fatores encontrados à direita do traço vertical:

2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·5·5·5 = 210·53 = 128000

Exemplo 2: Calcule o MMC entre 432 e 384:

432, 384 |2
216, 192 |2
  108, 96 |2
    54, 48 |2
    27, 24 |2
    27, 12 |2
      27, 6 |2
      27, 3 |3
        9, 1 |3
        3, 1 |3
        1, 1 |  

O MMC será: =

2·2·2·2·2·2·2·3·3·3 = 27·33 = 128·9 = 1152

Para calcular o MMC de três números ou mais, basta utilizar o método prático, discutido aqui, colocando todos esses números lado a lado.

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

O mínimo múltiplo comum está diretamente ligado ao conceito de múltiplo de um número inteiro
O mínimo múltiplo comum está diretamente ligado ao conceito de múltiplo de um número inteiro

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Mínimo Múltiplo Comum (MMC)"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/minimo-multiplo-comum-mmc.htm. Acesso em 17 de outubro de 2019.

Assista às nossas videoaulas
Lista de Exercícios
Questão 1

Qual é o mínimo múltiplo comum entre os números 90, 150 e 20?

a) 90

b) 150

c) 20

d) 900

e) 450

Questão 2

Uma loja de aviamentos vende prendedores de cabelo em embalagens com 15 unidades e lacinhos em embalagens com 6 unidades cada uma. Uma pessoa que deseja comprar a mesma quantidade de lacinhos e de prendedores de cabelo deverá comprar quantas embalagens no total?

Mais Questões
  • SIGA O BRASIL ESCOLA
Brasil Escola