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Mínimo múltiplo comum (MMC)

Matemática

Mínimo múltiplo comum (MMC) é o menor número múltiplo de dois ou mais números. Esse cálculo é muito comum ao fazer-se somas e subtrações entre frações.
O mínimo múltiplo comum possui diversos usos, e um deles é ao fazer-se somas ou subtrações de frações com denominadores diferentes.
O mínimo múltiplo comum possui diversos usos, e um deles é ao fazer-se somas ou subtrações de frações com denominadores diferentes.
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Conhecemos como MMC o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números. Encontrar o MMC entre dois números é procurar o menor número múltiplo de dois ou mais números simultaneamente. Para encontrar o MMC entre dois números, podemos fazer uma lista dos múltiplos de cada um deles até achar um que seja comum a ambos, ou então utilizar o método de decomposição em fatores primos ou até mesmo o de fatoração sucessiva. Existem propriedades importantes para o mínimo múltiplo comum.

Leia também: Dicas e macetes para cálculos de divisão 

Resumo sobre MMC

  • O mínimo múltiplo comum é conhecido como MMC.
  • O MMC entre dois ou mais números é o menor número múltiplo desses números simultaneamente.
  • Existem métodos diferentes para encontrar o MMC.
  • O MMC possui propriedades importantes.

Videoaula sobre mínimo múltiplo comum (MMC)

O que é o MMC?

Conhecemos como MMC o mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números. Encontrar o MMC entre dois números é identificar o menor número inteiro diferente de zero e múltiplo de ambos simultaneamente. Para compreender o que é o MMC, é fundamental saber o que são os múltiplos de número.

Conhecemos como múltiplos de um número o produto obtido quando multiplicamos um número natural por outro número natural.

Exemplo 1:

M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96…}

Note que o conjunto dos números múltiplos de 12 é formado pelos resultados de 12 vezes 0, 12 vezes 1, 12 vezes 2, e assim sucessivamente. O conjunto de múltiplos é infinito.

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Exemplo 2:

Vejamos agora os múltiplos de 14:

M(14) = {0, 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112…}

Podemos encontrar o mínimo múltiplo comum entre esses dois números (12, 14), para isso, basta analisar as duas listas de múltiplos e procurar o menor número inteiro diferente de zero e que seja múltiplo dos dois.

MMC(12, 14)

M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96…}

M(14) = {0, 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112…}

MMC(12, 14) = 84

Leia também: Macetes e dicas de matemática para o Enem 

Como calcular o MMC?

Para calcular o MMC entre dois ou mais números, existem vários métodos. Os que mais se destacam são três, apresentados a seguir.

  • 1º método - comparação dos múltiplos

O primeiro deles é o que nós utilizamos anteriormente para encontrar o MMC entre 12 e 14: escrever a lista de múltiplo de cada um dos números e encontrar o menor múltiplo em comum entre eles.

Exemplo: MMC(10, 15)

M(10) = {0, 10, 20, 30…}

M(15) = {0, 15, 30…}

MMC(10, 15) = 30

Acontece que esse método é pouco prático quando há mais números, ou então, quando os números são maiores, muitas vezes encontrar o MMC escrevendo a lista de múltiplos de cada um dos números pode ser bastante trabalhoso.

2º método - decomposição em fatores primos 

O método de decompor os números em fatores primos facilita encontrar os múltiplos em comum quando os números são maiores.

Os números que não são primos podem ser escritos como o produto entre números primos. Esse método consiste em reescrever os números na forma fatorada e multiplicar os fatores com os seus maiores expoentes.

Exemplo:

Encontre o MMC(36, 40):

Primeiro vamos escrever esses números na sua forma fatorada:

36 = 2² · 3²

40 = 2³ · 5

Os fatores encontrados na decomposição foram 2, 3 e 5. Vamos realizar a multiplicação entre eles com os seus respectivos exponentes. Note que o 2 apareceu em ambos, nesse caso, escolhemos o maior expoente:

MMC(36, 40) = 2³ · 3² · 5

MMC(36, 40) = 8 · 9 · 5

MMC(36, 40) = 360

  • 3º método - método das divisões sucessivas

O terceiro método é o mais utilizado e é conhecido como método prático do MMC ou método das divisões sucessivas. Como o nome sugere, nele se realiza divisões sucessivas com esses números simultaneamente para encontrar os fatores cujo o produto será o MMC.

Exemplo:

Calcule MMC(48, 84).

1º passo: montar o algoritmo e encontrar o menor número primo que divide pelo menos um dos dois números.

Algoritmo do método prático para encontrar o MMC dos números 48 e 84.

 

2º passo: realizar a divisão desses números por 2 e escrever o resultado logo abaixo:

Algoritmo do MMC dividindo 48 e 84 pela metade.

 

3º passo: com os resultados encontrados, repetiremos o processo, dividindo-os novamente por 2:

Algoritmo o MMC dividindo 48 e 84 novamente pela metade.

 

4º passo: note que 2 não divide o 21, mas ainda divide o 12, então escreveremos o 2 como fator, mas realizaremos somente a divisão que tem resultado inteiro, repetindo o processo até que não tenha mais nenhum número divisível por 2.

Algoritmo MMC repetindo o fator 21 e dividindo 12 e 6 pela metade.

 

5º passo: encontraremos agora o próximo número primo que divide qualquer um dos dois números, que, no caso, é o 3, e realizaremos a divisão.

Algoritmo do MMC divisão dos fatores por 3.

 

6º passo: como 3 não divide mais nenhum dos dois números, então encontraremos o próximo número que divide qualquer um dos dois números, que no caso é 7.

Algoritmo do MMC divisão por 7.

 

7º passo: agora que não é mais possível dividir, calculamos o produto entre os números encontrados para encontrar o MMC.

Multiplicação dos números para encontrar o MMC entre 48 e 84.

 

Então, o MMC(48, 84) = 336.

Leia também: Três conceitos básicos de matemática para o Enem

Propriedades do MMC

Existem algumas propriedades importantes do MMC:

1ª propriedade: o MMC entre dois números primos entre si é igual ao produto entre esses dois números.

Exemplo:

MMC(10, 9)

Note que os divisores de 10 são D(10) = {1, 2, 5, 10} e os divisores de 9 são {1, 3, 9}. Sendo assim, não existe nenhum divisor comum entre esses números, logo, temos que:

MMC(10, 9) = 10 × 9 = 90

2ª propriedade: quando um dos números de que queremos encontrar o MMC é múltiplo do outro, então o MMC entre esses números será o maior deles.

Exemplo:

MMC(4, 12)

M(6) = {0, 4, 8, 12 , 18...}

M(18) = {0, 12…}

MMC(4, 12) = 12

MMC em frações

Utilizamos o MMC para igualar os denominadores de frações, a fim de que seja possível calcular a adição ou a subtração entre duas frações.

Para calcular a soma de duas frações com denominadores distintos, é necessário calcular o mínimo múltiplo comum dos denominadores, a fim de escrever frações equivalentes que possuam o mesmo denominador e, assim, ser possível realizar a soma.

Exemplo:

Soma de frações com denominadores diferentes.

 

Primeiro encontraremos o MMC(9, 5). Como eles são primos entre si, basta multiplicar 9 × 5 = 45, então, temos que:

MMC(9, 5) = 45

Encontrado o MMC, agora precisamos analisar as frações. Na primeira, para que o denominador seja igual a 45, é necessário multiplicar por 5 tanto o numerador quanto o denominador.
Já na segunda fração, como o denominador igual a 5, é necessário multiplicar o numerador e o denominador por 9. Após igualar os denominadores, é possível realizar a soma entre as frações:

Soma de frações com os denominadores iguais.

 

Veja também: Três erros comuns na simplificação de fração algébrica

Diferença entre MMC e MDC

Conhecemos o mínimo múltiplo comum (MMC), mas existe também o máximo divisor comum (MDC). Como o nome sugere, o máximo divisor comum é o maior número divisor de dois ou mais números ao mesmo tempo.

Exemplo:

MDC(18, 27)

Dessa vez, escreveremos a lista de divisores de cada um desses números:

D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

D(27) = {1, 3, 9, 27} 

MDC(18, 27) = 9

  • Videoaula sobre MMC e MDC

Exercícios resolvidos sobre mínimo múltiplo comum (MMC)

Questão 1 - (IFG 2019) Antônio realiza atividades físicas regularmente, entre as modalidades de corrida, ciclismo e natação. Ele corre a cada três dias, pedala dia sim e dia não, e nada de quatro em quatro dias. Certa vez, coincidiu de realizar essas três atividades físicas no mesmo dia. É correto afirmar que essa coincidência voltará a ocorrer daqui a

A) 06 dias.

B) 08 dias.

C) 10 dias.

D) 12 dias.

Resolução

Alternativa D

Queremos o MMC(2, 3, 4).

Listando os múltiplos de cada um deles até encontrar o primeiro que seja comum aos três, temos que:

M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12...}

M(3) = {0, 3, 6, 9, 12...}

M(4) = {0, 4, 8, 12…}

Então, o MMC(2, 3, 4) = 12.

Questão 2 - Em um conselho regional, o presidente é eleito a cada 4 anos, o secretário, a cada 3 anos, e o coordenador geral, a cada 2 anos. Se em 2020 houve eleições para os três cargos simultaneamente, das opções abaixo, em que ano isso ocorrerá novamente?

A) 2028

B) 2030

C) 2032

D) 2034

Resolução

Alternativa C

Calculando o MMC(4, 3, 2), temos que:

M(4) = {0, 4, 8, 12…}
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12…}
M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12…}

Então, temos que: MMC(4, 3, 2) = 12.

Desse modo, a eleição para esses 3 cargos ocorrerá simultaneamente em 12 anos, 2020 + 12 = 2032.

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor  de Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Mínimo múltiplo comum (MMC)"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/minimo-multiplo-comum-mmc.htm. Acesso em 19 de outubro de 2021.

Assista às nossas videoaulas
Lista de Exercícios
Questão 1

Qual é o mínimo múltiplo comum entre os números 90, 150 e 20?

a) 90

b) 150

c) 20

d) 900

e) 450

Questão 2

Uma loja de aviamentos vende prendedores de cabelo em embalagens com 15 unidades e lacinhos em embalagens com 6 unidades cada uma. Uma pessoa que deseja comprar a mesma quantidade de lacinhos e de prendedores de cabelo deverá comprar quantas embalagens no total?

Mais Questões
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