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Os conceitos de múltiplos e divisores de um número natural estendem-se para o conjunto dos números inteiros. Quando tratamos do assunto múltiplos e divisores, referimo-nos a conjuntos numéricos que satisfazem algumas condições. Os múltiplos são encontrados após a multiplicação por números inteiros, e os divisores são números divisíveis por um certo número.
Devido a isso, encontraremos subconjuntos dos números inteiros, pois os elementos dos conjuntos dos múltiplos e divisores são elementos do conjunto dos números inteiros. Para entender o que são números primos, é necessário compreender o conceito de divisores.
Tópicos deste artigo
- 1 - Múltiplos de um número
- 2 - Divisores de um número
- 3 - Propriedade dos múltiplos e divisores
- 4 - Números primos
- 5 - Exercícios resolvidos
Múltiplos de um número
Sejam a e b dois números inteiros conhecidos, o número a é múltiplo de b se, e somente se, existir um número inteiro k tal que a = b · k. Desse modo, o conjunto dos múltiplos de a é obtido multiplicando a por todos números inteiros, os resultados dessas multiplicações são os múltiplos de a.
Por exemplo, listemos os 12 primeiros múltiplos de 2. Para isso temos que multiplicar o número 2 pelos 12 primeiros números inteiros, assim:
2 · 1 = 2
2 · 2 = 4
2 · 3 = 6
2 · 4 = 8
2 · 5 = 10
2 · 6 = 12
2 · 7 = 14
2 · 8 = 16
2 · 9 = 18
2 · 10 = 20
2 · 11 = 22
2 · 12 = 24
Portanto, os múltiplos de 2 são:
M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}
Observe que listamos somente os 12 primeiros números, mas poderíamos ter listado quantos fossem necessários, pois a lista de múltiplos é dada pela multiplicação de um número por todos os inteiros. Assim, o conjunto dos múltiplos é infinito.
Para verificar se um número é ou não múltiplo de outro, devemos encontrar um número inteiro de forma que a multiplicação entre eles resulte no primeiro número. Veja os exemplos:
→ O número 49 é múltiplo de 7, pois existe número inteiro que, multiplicado por 7, resulta em 49.
49 = 7 · 7
→ O número 324 é múltiplo de 3, pois existe número inteiro que, multiplicado por 3, resulta em 324.
324 = 3 · 108
→ O número 523 não é múltiplo de 2, pois não existe número inteiro que, multiplicado por 2, resulte em 523.
523 = 2 · ?
Leia também: Propriedades da multiplicação que facilitam o cálculo mental
Múltiplos de 4
Como vimos, para determinar o múltiplos do número 4, devemos multiplicar o número 4 por números inteiros. Assim:
4 · 1 = 4
4 · 2 = 8
4 · 3 = 12
4 · 4 = 16
4 · 5 = 20
4 · 6 = 24
4 · 7 = 28
4 · 8 = 32
4 · 9 = 36
4 · 10 = 40
4 · 11 = 44
4 · 12 = 48
...
Portanto, os múltiplos de 4 são:
M(4) = {4, 8, 12, 16, 20. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … }
Múltiplos de 5
De maneira análoga, temos os múltiplos de 5.
5 · 1 = 5
5 · 2 = 5
5 · 3 = 15
5 · 4 = 20
5 · 5 = 25
5 · 6 = 30
5 · 7 = 35
...
Logo, os múltiplos de 5 são: M(5) = {5, 10, 15, 20, 25, 30 , 35, 40, 45, … }
Divisores de um número
Sejam a e b dois números inteiros conhecidos, vamos dizer que b é divisor de a se o número b for múltiplo de a, ou seja, a divisão entre b e a é exata (deve deixar resto 0).
Veja alguns exemplos:
→ 22 é múltiplo de 2, então, 2 é divisor de 22.
→ 63 é múltiplo de 3, logo, 3 é divisor de 63.
→ 121 não é múltiplo de 10, assim, 10 não é divisor de 121.
Para listar os divisores de um número, devemos buscar os números que o dividem. Veja:
– Liste os divisores de 2, 3 e 20.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1, 3}
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Observe que os números da lista dos divisores sempre são divisíveis pelo número em questão e que o maior valor que aparece nessa lista é o próprio número, pois nenhum número maior que ele será divisível por ele.
Por exemplo, nos divisores de 30, o maior valor dessa lista é o próprio 30, pois nenhum número maior que 30 será divisível por ele. Assim:
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Saiba mais: Curiosidades sobre a divisão de números naturais
Propriedade dos múltiplos e divisores
Essas propriedades estão relacionadas à divisão entre dois inteiros. Observe que quando um inteiro é múltiplo de outro, é também divisível por esse outro número.
Considere o algoritmo da divisão para que possamos melhor compreender as propriedades.
N = d · q + r, em que q e r são números inteiros.
Lembre-se de que N é chamado de dividendo; d, de divisor; q, de quociente; e r, de resto.
→ Propriedade 1: A diferença entre o dividendo e o resto (N – r) é múltipla do divisor, ou o número d é divisor de (N – r).
→ Propriedade 2: (N – r + d) é um múltiplo de d, ou seja, o número d é um divisor de (N – r + d).
Veja o exemplo:
– Ao realizar a divisão de 525 por 8, obtemos quociente q = 65 e resto r = 5. Assim, temos o dividendo N = 525 e o divisor d = 8. Veja que as propriedades são satisfeitas, pois (525 – 5 + 8) = 528 é divisível por 8 e:
528 = 8 · 66
Números primos
Os números primos são aqueles que possuem como divisor em sua listagem somente o número 1 e o próprio número. Para verificar se um número é primo ou não, um dos métodos mais triviais é fazer a listagem dos divisores desse número. Caso apareça números a mais que 1 e o número em questão, este não é primo.
→ Verifique quais são os números primos entre 2 e 20. Para isso, vamos fazer a lista dos divisores de todos esses números entre 2 e 20.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1, 3}
D(4) = {1, 2, 4}
D(5) = {1, 5}
D(6) = {1, 2, 3, 6}
D(7) = {1, 7}
D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(9) = {1, 3, 9}
D(10) = {1, 2, 5, 10}
D(11) = {1, 11}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(13) = {1, 13}
D(14) = {1, 2, 7, 14}
D(15) = {1, 3, 5, 15}
D(16) = {1, 2, 4, 16}
D(17) = {1, 17}
D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
D(19) = {1, 19}
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Assim, os números primos entre 2 e 20 são:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19}
Observe que o conjunto é de alguns dos primeiros primos, essa lista continua. Veja que quanto maior é o número, mais difícil torna-se dizer se ele é primo ou não.
Leia mais: Números irracionais: aqueles que não podem ser representados em frações
Exercícios resolvidos
Questão 1 – (UMC-SP) O número de elementos do conjunto dos divisores primos de 60 é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 10
Solução
Alternativa A
Inicialmente, listaremos os divisores de 60 e, em seguida, analisaremos quais são primos.
D(60) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Desses números, temos que são primos os:
{2, 3, 5}
Portanto, a quantidade de números divisores primos de 60 é 3.
Questão 2 – Escreva todos os números naturais menores que 100 e múltiplos de 15.
Solução
Sabemos que os múltiplos de 15 são os resultados da multiplicação do número 15 por todos os inteiros. Como o exercício pede para escrever os números naturais menores que 100 e que são múltiplos de 15, devemos multiplicar o 15 por todos os números maiores que zero, até encontrarmos o maior múltiplo antes de 100, assim:
15 · 1 = 15
15 · 2 = 30
15 · 3 = 45
15 · 4 = 60
15 · 5 = 75
15 · 6 = 90
15 · 7 = 105
Portanto, os números naturais menores que 100 e múltiplos de 15 são:
{15, 30, 45, 60, 75, 90}
Questão 3 – Qual o maior múltiplo de 5 entre 100 e 1001?
Solução
Para determinar o maior múltiplo de 5 entre 100 e 1001, basta identificar qual o primeiro múltiplo de 5 de trás para frente.
1001 não é múltiplo de 5, pois não existe inteiro que, multiplicado por 5, resulte em 1001.
1000 é múltiplo de 5, pois 1000 = 5 · 200.
Portanto, o maior múltiplo de 5, entre 100 e 1001, é o 1000.
Por Robson Luiz
Professor de Matemática
