Múltiplos e divisores

Matemática

PUBLICIDADE

Os conceitos de múltiplos e divisores de um número natural estendem-se para o conjunto dos números inteiros. Quando tratamos do assunto múltiplos e divisores, referimo-nos a conjuntos numéricos que satisfazem algumas condições. Os múltiplos são encontrados após a multiplicação por números inteiros, e os divisores são números divisíveis por um certo número.

Devido a isso, encontraremos subconjuntos dos números inteiros, pois os elementos dos conjuntos dos múltiplos e divisores são elementos do conjunto dos números inteiros. Para entender o que são números primos, é necessário compreender o conceito de divisores.

Os conceitos de múltiplos e divisores são decorrentes das operações.
Os conceitos de múltiplos e divisores são decorrentes das operações.

Múltiplos de um número

Sejam a e b dois números inteiros conhecidos, o número a é múltiplo de b se, e somente se, existir um número inteiro k tal que a = b · k. Desse modo, o conjunto dos múltiplos de a é obtido multiplicando a por todos números inteiros, os resultados dessas multiplicações são os múltiplos de a.

Por exemplo, listemos os 12 primeiros múltiplos de 2. Para isso temos que multiplicar o número 2 pelos 12 primeiros números inteiros, assim:

2 · 1 = 2

2 · 2 = 4

2 · 3 = 6

2 · 4 = 8

2 · 5 = 10

2 · 6 = 12

2 · 7 = 14

2 · 8 = 16

2 · 9 = 18

2 · 10 = 20

2 · 11 = 22

2 · 12 = 24

Portanto, os múltiplos de 2 são:

M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}

Observe que listamos somente os 12 primeiros números, mas poderíamos ter listado quantos fossem necessários, pois a lista de múltiplos é dada pela multiplicação de um número por todos os inteiros. Assim, o conjunto dos múltiplos é infinito.

Para verificar se um número é ou não múltiplo de outro, devemos encontrar um número inteiro de forma que a multiplicação entre eles resulte no primeiro número. Veja os exemplos:

→ O número 49 é múltiplo de 7, pois existe número inteiro que, multiplicado por 7, resulta em 49.

49 = 7 · 7

→ O número 324 é múltiplo de 3, pois existe número inteiro que, multiplicado por 3, resulta em 324.

324 = 3 · 108

→ O número 523 não é múltiplo de 2, pois não existe número inteiro que, multiplicado por 2, resulte em 523.

523 = 2 · ?

Leia também: Propriedades da multiplicação que facilitam o cálculo mental

Múltiplos de 4

Como vimos, para determinar o múltiplos do número 4, devemos multiplicar o número 4 por números inteiros. Assim:

4 · 1 = 4

4 · 2 = 8

4 · 3 = 12

4 · 4 = 16

4 · 5 = 20

4 · 6 = 24

4 · 7 = 28

4 · 8 = 32

4 · 9 = 36

4 · 10 = 40

4 · 11 = 44

4 · 12 = 48

...

Portanto, os múltiplos de 4 são:

M(4) = {4, 8, 12, 16, 20. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … }

Múltiplos de 5

De maneira análoga, temos os múltiplos de 5.

5 · 1 = 5

5 · 2 = 5

5 · 3 = 15

5 · 4 = 20

5 · 5 = 25

5 · 6 = 30

5 · 7 = 35

...

Logo, os múltiplos de 5 são: M(5) = {5, 10, 15, 20, 25, 30 , 35, 40, 45, … }

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Divisores de um número

Sejam a e b dois números inteiros conhecidos, vamos dizer que b é divisor de a se o número b for múltiplo de a, ou seja, a divisão entre b e a é exata (deve deixar resto 0).

Veja alguns exemplos:

→ 22 é múltiplo de 2, então, 2 é divisor de 22.

→ 63 é múltiplo de 3, logo, 3 é divisor de 63.

→ 121 não é múltiplo de 10, assim, 10 não é divisor de 121.

Para listar os divisores de um número, devemos buscar os números que o dividem. Veja:

– Liste os divisores de 2, 3 e 20.

D(2) = {1, 2}

D(3) = {1, 3}

D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Observe que os números da lista dos divisores sempre são divisíveis pelo número em questão e que o maior valor que aparece nessa lista é o próprio número, pois nenhum número maior que ele será divisível por ele.

Por exemplo, nos divisores de 30, o maior valor dessa lista é o próprio 30, pois nenhum número maior que 30 será divisível por ele. Assim:

D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

Saiba mais: Curiosidades sobre a divisão de números naturais

Propriedade dos múltiplos e divisores

Essas propriedades estão relacionadas à divisão entre dois inteiros. Observe que quando um inteiro é múltiplo de outro, é também divisível por esse outro número.

Considere o algoritmo da divisão para que possamos melhor compreender as propriedades.

N = d · q + r, em que q e r são números inteiros.

Lembre-se de que N é chamado de dividendo; d, de divisor; q, de quociente; e r, de resto.

Propriedade 1: A diferença entre o dividendo e o resto (N – r) é múltipla do divisor, ou o número d é divisor de (N – r).

Propriedade 2: (N – r + d) é um múltiplo de d, ou seja, o número d é um divisor de (N – r + d).

Veja o exemplo:

– Ao realizar a divisão de 525 por 8, obtemos quociente q = 65 e resto r = 5. Assim, temos o dividendo N = 525 e o divisor d = 8. Veja que as propriedades são satisfeitas, pois (525 – 5 + 8) = 528 é divisível por 8 e:

528 = 8 · 66

Números primos

Os números primos são aqueles que possuem como divisor em sua listagem somente o número 1 e o próprio número. Para verificar se um número é primo ou não, um dos métodos mais triviais é fazer a listagem dos divisores desse número. Caso apareça números a mais que 1 e o número em questão, este não é primo.

→ Verifique quais são os números primos entre 2 e 20. Para isso, vamos fazer a lista dos divisores de todos esses números entre 2 e 20.

D(2) = {1, 2}

D(3) = {1, 3}

D(4) = {1, 2, 4}

D(5) = {1, 5}

D(6) = {1, 2, 3, 6}

D(7) = {1, 7}

D(8) = {1, 2, 4, 8}

D(9) = {1, 3, 9}

D(10) = {1, 2, 5, 10}

D(11) = {1, 11}

D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

D(13) = {1, 13}

D(14) = {1, 2, 7, 14}

D(15) = {1, 3, 5, 15}

D(16) = {1, 2, 4, 16}

D(17) = {1, 17}

D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

D(19) = {1, 19}

D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Assim, os números primos entre 2 e 20 são:

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19}

Observe que o conjunto é de alguns dos primeiros primos, essa lista continua. Veja que quanto maior é o número, mais difícil torna-se dizer se ele é primo ou não.

Leia mais: Números irracionais: aqueles que não podem ser representados em frações

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (UMC-SP) O número de elementos do conjunto dos divisores primos de 60 é:

a) 3

b) 4

c) 5

d) 10

Solução

Alternativa A

Inicialmente, listaremos os divisores de 60 e, em seguida, analisaremos quais são primos.

D(60) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

Desses números, temos que são primos os:

{2, 3, 5}

Portanto, a quantidade de números divisores primos de 60 é 3.

Questão 2 – Escreva todos os números naturais menores que 100 e múltiplos de 15.

Solução

Sabemos que os múltiplos de 15 são os resultados da multiplicação do número 15 por todos os inteiros. Como o exercício pede para escrever os números naturais menores que 100 e que são múltiplos de 15, devemos multiplicar o 15 por todos os números maiores que zero, até encontrarmos o maior múltiplo antes de 100, assim:

15 · 1 = 15

15 · 2 = 30

15 · 3 = 45

15 · 4 = 60

15 · 5 = 75

15 · 6 = 90

15 · 7 = 105

Portanto, os números naturais menores que 100 e múltiplos de 15 são:

{15, 30, 45, 60, 75, 90}

Questão 3 – Qual o maior múltiplo de 5 entre 100 e 1001?

Solução

Para determinar o maior múltiplo de 5 entre 100 e 1001, basta identificar qual o primeiro múltiplo de 5 de trás para frente.

1001 não é múltiplo de 5, pois não existe inteiro que, multiplicado por 5, resulte em 1001.

1000 é múltiplo de 5, pois 1000 = 5 · 200.

Portanto, o maior múltiplo de 5, entre 100 e 1001, é o 1000.

 

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

  

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

LUIZ, Robson. "Múltiplos e divisores"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplos-divisores.htm. Acesso em 24 de setembro de 2020.

Assista às nossas videoaulas
Lista de Exercícios
Questão 1

(PMSC1201/001-Assistente Administrativo – 2012) – Um escritório comprou os seguintes itens: 140 marcadores de texto, 120 corretivos e 148 blocos de rascunho e dividiu esse material em pacotinhos, cada um deles contendo um só tipo de material, porém todos com o mesmo número de itens e na maior quantidade possível. Sabendo-se que todos os itens foram utilizados, então o número total de pacotinhos feitos foi

(A) 74.

(B) 88.

(C) 96.

(D) 102.

(E) 112.

Questão 2

(Bio – Rio) O MDC entre 2³.3.5² e 2².3.7² é igual a:

a) 6

b) 12

c) 60

d) 50

e) 300

Mais Questões