Três erros comuns na simplificação de fração algébrica

As frações algébricas são expressões algébricas fracionárias que contam com pelo menos uma incógnita no denominador. Muitas vezes, existem fatores que aparecem tanto no numerador quanto no denominador dessas frações, deixando a possibilidade de simplificá-las. O que muitos ignoram é que existem algumas regras, estudadas desde o início do Ensino Fundamental, que dirigem esse processo de simplificação. Portanto, qualquer simplificação que desobedeça a essas regras tem um grande potencial de estar errada. Por isso, listamos a seguir os três erros mais frequentes na simplificação de frações algébricas e a maneira correta de realizar esses procedimentos.

Antes de prosseguir, recomendamos a leitura do artigo Simplificação de fração algébrica para aqueles que ainda possuem dúvidas sobre esse assunto.

1 – Cortar elementos iguais no numerador e no denominador

Esse é o erro mais comum. No início do aprendizado, os alunos querem “cortar” todos os elementos iguais no numerador e no denominador de uma fração algébrica. Entretanto, não são elementos iguais que devem ser “cortados”, mas, sim, fatores iguais.

A regra é a seguinte: Se houver fatores iguais no numerador e no denominador, esses fatores podem ser cortados. Lembre-se: a divisão entre eles vai dar 1, o que não influencia uma divisão ou multiplicação. Como esses fatores simplesmente somem, esse processo ficou conhecido como “cortar”. Lembre-se também de que são chamados de fatores os números de uma multiplicação.

Elementos que estão sendo somados ou subtraídos não podem ser cortados, pois sua divisão não resulta em 1. Dessa maneira, tomando o exemplo abaixo que envolve uma soma, veremos a maneira correta e a incorreta de realizar a simplificação.

Exemplo: Simplifique a fração algébrica a seguir.

4x + 4y
x + y

Incorreto:

4x + 4y = 4 + 4 = 8
x + y                 

Observe que os números desconhecidos que foram cortados (destacados em vermelho) não são fatores de uma multiplicação, mas, sim, parcelas de uma adição. Logo, o corte feito acima está errado.

Correto:

4x + 4y
x + y

Fazendo o processo de fatoração de polinômios por fator comum, teremos:

4(x + y) = 4
x + y      

No numerador da fração algébrica, encontramos uma multiplicação em que os fatores são 4 e x + y. No denominador, encontramos apenas x + y. Observe que x + y é um fator, pois não está sendo somado ou subtraído por nenhum outro número ou incógnita. Para melhor visualizar, basta colocar parênteses:

4(x + y) = 4
(x + y)      

Se, no lugar de x + y, somente existisse o número 4 no denominador, também seria possível simplificar, cortando o número 4 apenas.

Observe agora um caso em não poderia haver simplificação:

 4(x + y) 
x + y + k

*k é qualquer número, incógnita ou monômio.

2 – Fatorar trinômio quadrado perfeito usando o processo de fator comum em evidência

Quase sempre que aparece um polinômio em uma fração algébrica, ele deve ser fatorado. Depois disso, os fatores presentes no numerador e denominador devem ser comparados em busca dos que podem ser simplificados (outra palavra para “cortados”).

O que acontece é que os alunos se deparam com um trinômio quadrado perfeito e esquecem-se de que ele é resultado de um produto notável, bastando retornar a esse produto para realizar a fatoração. Então, a tentativa que é feita é de colocar fatores comuns em evidência.

As pessoas que realizam esse tipo de tentativa geralmente cometem o erro anterior.

Observe o exemplo a seguir, que também traz a forma correta e a forma incorreta mais frequente de resolução.

Exemplo: Simplifique a fração algébrica a seguir.

4x² + 8xy + 4y²
x + y

Incorreto:

4x² + 8xy + 4y²
x + y

4(x² + 2xy + y²)
x + y

ou

4(x + 2y) + 4y²
x + y

Note que nem é possível simplificar, justamente porque o processo de fatoração não foi realizado de maneira adequada.

Correto:

4x² + 8xy + 4y²
x + y

(2x + 2y)²
x + y

(2x + 2y)(2x + 2y)
x + y

Nessa etapa, note que o número 2 é comum a todos os elementos dos dois fatores do numerador. Nessa situação, é necessário fatorar por fator comum para os dois fatores. Teremos como resultado:

2·(x + y)·2·(x + y)
x + y

2·2·(x + y)(x + y)
x + y

4·(x + y)(x + y)
x + y

Agora, sim, podemos cortar o fator que se repete tanto no numerador quanto no denominador.

4·(x + y)(x + y) = 4·(x + y)
x + y                

3 – Confundir os produtos notáveis

Observe a lista de produtos notáveis a seguir que envolve quadrados ou produto da soma pela diferença.

(x+ y)² = x² + 2xy + y²

(x – y)² = x² –2xy + y²

(x+ y)(x – y) = x² – y²

Toda vez que um polinômio assume a forma de trinômio quadrado perfeito ou diferença de dois quadrados – encontrados no lado direito das igualdades acima –, é possível substituí-los pelo produto notável que os gerou (lado esquerdo correspondente).

Na simplificação de frações algébricas, esquecer que produto notável é correspondente ao trinômio quadrado perfeito é um erro muito recorrente – especialmente em se tratando da diferença de dois quadrados. Quando ela aparece, é comum imaginar que ela já está fatorada ou que se pode colocar o expoente 2 “em evidência” (e, é claro, não é possível fazer isso).

Observe o exemplo a seguir que envolve diferença de dois quadrados:

Exemplo: Simplifique a fração algébrica a seguir.

4x² – 4y²
x + y

Correta:

Lembre-se de que o numerador é uma diferença de dois quadrados, podendo ser substituído por:

(2x – 2y)(2x + 2y)
x + y

A simplificação será feita colocando-se o 2 em evidência, mais uma vez, nos dois fatores.

2·(x – y)·2·(x + y)
x + y

2·2·(x – y)·(x + y)
x + y

4·(x – y)·(x + y) = 4·(x – y)
x + y                

Repare que, na diferença de dois quadrados, em um dos fatores aparece uma adição e, no outro, uma subtração.

Incorreto:

Usar um dos outros dois casos de produtos notáveis:

4x² – 4y²
x + y

(2x + 2y)(2x + 2y)
x + y

Ou “colocar o expoente 2 em evidência”:

4x² – 4y²
x + y

4(x – y)²
x + y

Para evitar esses dois últimos erros, sugerimos a leitura do texto Quadrado da soma, Fator comum em evidência e Potenciação.

Bons estudos!

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática