Cálculo do MMC e do MDC

Os cálculos de MMC e MDC estão relacionados com múltiplos e divisores de um número natural. Entendemos por múltiplo o produto gerado pela multiplicação entre dois números.

Observe:

Dizemos que 30 é múltiplo de 5, pois 5·6 = 30. Existe um número natural que multiplicado por 5 resulta em 30. Veja mais alguns números e seus múltiplos:

M(3) = 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, …

M(4) = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, …

M(10) = 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, …

M(8) = 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, …

M(20) = 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, …

M(11) = 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, ...

Os múltiplos de um número formam um conjunto infinito de elementos.

Divisores

Um número é considerado divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a zero. Observe alguns números e seus divisores:

D(10) = 1, 2, 5, 10.

D(20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20.

D(25) = 1, 5, 25.

D(100) = 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.

Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

O mínimo múltiplo comum entre dois números é representado pelo menor valor comum pertencente aos múltiplos dos números. Observe o MMC entre os números 20 e 30:

M(20) = 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, ....

M(30) = 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, …

O MMC entre 20 e 30 é equivalente a 60.

Outra forma de determinar o MMC entre 20 e 30 é por meio da fatoração, em que devemos escolher os fatores comuns e não comuns de maior expoente. Observe:

20 = 2·2·5 = 2²·5

30 = 2·3·5 = 2·3·5

MMC (20, 30) = 2²·3·5 = 60

A terceira opção consiste em realizar a decomposição simultânea dos números, multiplicando os fatores obtidos. Observe:

20, 30| 2 10, 15| 2 5, 15| 3 5, 5| 5 1, 1|

MMC(20,30) = 2·2·3·5 = 60

Máximo Divisor Comum (MDC)

O máximo divisor comum entre dois números é representado pelo maior valor comum pertencente aos divisores dos números. Observe o MDC entre os números 20 e 30:

D(20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20.

D(30) = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

O maior divisor comum dos números 20 e 30 é 10.

Podemos também determinar o MDC entre dois números por meio da fatoração, em que escolhemos os fatores comuns de menor expoente. Observe o MDC de 20 e 30 a partir desse método.

20 = 2·2·5 = 2²·5

30 = 2·3·5 = 2·3·5

MDC (20, 30) = 2·5 = 10

Exemplo:

Vamos determinar o MMC e o MDC entre os números 80 e 120.

MMC

80 = 2·2·2·2·5 = 24·5

120 = 2·2·2·3·5 = 2³·3·5

MMC (80, 120) = 24·3·5 = 240

MDC (80, 120) = 2³·5 = 40

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática