Aplicações do MMC e do MDC

A Matemática está presente em diversas situações cotidianas, mas às vezes, as pessoas não conseguem associar os fundamentos propostos pelo livro didático, pelo intermédio do professor, com tais situações. O MMC (mínimo múltiplo comum) e o MDC (máximo divisor comum) possuem inúmeras aplicações cotidianas. Vamos relembrar como calcular o MMC e o MDC entre números, observe:

Mínimo múltiplo comum entre 12 e 28



Os números são fatorados ao mesmo tempo, isto é, divididos pelo mesmo número. O quociente da divisão é colocado abaixo do dividendo. Esse processo deve ocorrer até a simplificação total do dividendo.

MMC (12, 28) = 2 × 2 × 3 × 7 = 84

O mínimo múltiplo comum entre os números 12 e 28 é igual a 84.


Máximo divisor comum entre 75 e 125

75 = 3 * 5 * 5
125 = 5 * 5 * 5

Observe que a multiplicação dos fatores primos coincidentes nas duas fatorações, formam o maior divisor comum, então:

O MDC entre (75, 125) = 5 * 5 = 25


Vamos apresentar algumas aplicações cotidianas envolvendo MMC e MDC.



Exemplo 1

Uma indústria de tecidos fabrica retalhos de mesmo comprimento. Após realizarem os cortes necessários, verificou-se que duas peças restantes tinham as seguintes medidas: 156 centímetros e 234 centímetros. O gerente de produção ao ser informado das medidas, deu a ordem para que o funcionário cortasse o pano em partes iguais e de maior comprimento possível. Como ele poderá resolver essa situação?

Devemos encontrar o MDC entre 156 e 234, esse valor corresponderá à medida do comprimento desejado.

Decomposição em fatores primos
234 = 2 * 3 * 3 * 13
156 = 2 * 2 * 3 * 13

MDC (156, 234) = 2 * 3 * 13 = 78

Portanto, os retalhos podem ter 78 cm de comprimento.



Exemplo 2

Uma empresa de logística é composta de três áreas: administrativa, operacional e vendedores. A área administrativa é composta de 30 funcionários, a operacional de 48 e a de vendedores com 36 pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza uma integração entre as três áreas, de modo que todos os funcionários participem ativamente. As equipes devem conter o mesmo número de funcionários com o maior número possível. Determine quantos funcionários devem participar de cada equipe e o número possível de equipes.

Encontrar o MDC entre os números 48, 36 e 30.

Decomposição em fatores primos

48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3
36 = 2 * 2 * 3 * 3
30 = 2 * 3 * 5

MDC (30, 36, 48) = 2 * 3 = 6

Determinando o número total de equipes:

48 + 36 + 30 = 114 → 114 : 6 = 19 equipes

O número de equipes será igual a 19, com 6 participantes cada uma.



Exemplo 3

(PUC–SP) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A a cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, após quantos dias as máquinas receberão manutenção no mesmo dia.

Temos que determinar o MMC entre os números 3, 4 e 6.



MMC (3, 4, 6) = 2 * 2 * 3 = 12

Concluímos que após 12 dias, a manutenção será feita nas três máquinas. Portanto, dia 14 de dezembro.

Exemplo 4

Um médico, ao prescrever uma receita, determina que três medicamentos sejam ingeridos pelo paciente de acordo com a seguinte escala de horários: remédio A, de 2 em 2 horas, remédio B, de 3 em 3 horas e remédio C, de 6 em 6 horas. Caso o paciente utilize os três remédios às 8 horas da manhã, qual será o próximo horário de ingestão dos mesmos?

Calcular o MMC dos números 2, 3 e 6.

MMC(2, 3, 6) = 2 * 3 = 6

O mínimo múltiplo comum dos números 2, 3, 6 é igual a 6.


De 6 em 6 horas os três remédios serão ingeridos juntos. Portanto, o próximo horário será às 14 horas.
 

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Conjunto Numérico - Matemática - Brasil Escola