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Máximo divisor comum (MDC)

Matemática

O máximo divisor comum (MDC) é o maior número que divide dois ou mais números ao mesmo tempo. Ele é utilizado para resolver várias situações-problema da Matemática.
O MDC é o maior número que divide dois ou mais números ao mesmo tempo.
O MDC é o maior número que divide dois ou mais números ao mesmo tempo.
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O máximo divisor comum, conhecido também pela sigla MDC, é o maior número que é divisor de dois ou mais números simultaneamente. Para encontrá-lo, podemos escrever a lista de divisores de cada um desses números e compará-las, buscando o maior divisor em comum entre esses números. Existem, todavia, outros métodos para encontrar o MDC: o método de decomposição simultânea desses números ou a decomposição em fatores primos.

Leia também: Múltiplos e divisores — dois conceitos que você precisa entender

Resumo sobre MDC

  • O máximo divisor comum (MDC) é o maior número que divide dois ou mais números ao mesmo tempo.

  • Utilizamos o MDC para resolver situações-problema envolvendo divisores.

  • Para encontrar o MDC, existem diferentes métodos.

Videoaula sobre MDC

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O que é o MDC?

MDC é o máximo divisor comum entre dois ou mais números, ou seja, o maior número que divide dois ou mais números simultaneamente. Dados dois números, como o 8 e o 16, sabemos que eles possuem divisores em comum, a saber: 1, 2, 4 e 8, que dividem tanto o 8 quanto o 16 ao mesmo tempo, logo:

MDC (8,16) = 8, que é o maior deles.

Como calcular o MDC?

Existem diferentes métodos para calcular o MDC entre dois ou mais números. Os mais comuns são o método da comparação entre os divisores, a decomposição em fatores primos e a decomposição simultânea.

  • Método da comparação

O método da comparação consiste em escrever a lista dos divisores de cada um dos números e encontrar qual é o maior divisor em comum entre eles.

Exemplo:

Encontre o MDC de 20 e 16.

Por comparação, vamos escrever os divisores de 20 e os divisores de 16.

D(20) = {1,2,4,5,10,20}

D(12)= {1,2,4,8,16}

Existem alguns divisores em comum, que são os números {1,2,4}. O MDC é o maior deles.

MDC (20,16) = 4

O problema é que esse método nem sempre é conveniente, pois, se os números forem muito grandes, encontrar os divisores de cada um deles pode não ser uma tarefa fácil.

Leia também: Propriedades da multiplicação que facilitam o cálculo mental

  • Método da decomposição

O método da decomposição consiste em decompor os números em fatores primos e procurar quais são os fatores em comum entre esses dois números.

Exemplo:

Encontre o MDC entre 120 e 150.

Primeiro encontraremos a decomposição em fatores primos de cada um desses números:

Decomposição em fatores primos dos números 150 e 120.

Agora vamos encontrar os fatores que são comuns aos dois e calcular o produto entre eles.

Note que, em 150, aparece o fator 2 e, em 120, aparece 2³. Nesse caso, sempre escolhemos o fator com o menor expoente, ou seja, 2 é um fator em comum. O mesmo acontece com o 3 e com o 5.

MDC (150, 120) = 2 · 3 · 5 = 30

  • Decomposição simultânea

Semelhantemente ao método anterior, a ideia é encontrar os fatores em comum aos dois números quando realizamos a decomposição; porém, faremos essa decomposição dos dois números ao mesmo tempo.

Decomposição simultânea de 150 e 150

Propriedades do MDC

O máximo divisor comum possui propriedades importantes que nos auxiliam a encontrar de forma mais rápida o MDC entre dois números.

  • 1ª propriedade: o MDC entre dois números consecutivos é sempre igual a 1. Exemplo:

MDC (10, 11) = 1

  • 2ª propriedade: quando temos dois ou mais números e um dos números é divisor dos demais, então ele é o MDC. Exemplo:

MDC (5,10,15)

Sabemos que o 5 é divisor de 10 e de 15, então:

MDC (5,10,15) = 5

Leia também: Critérios de divisibilidade — conhecê-los facilita bastante o cálculo da divisão

Diferença entre MDC e MMC

Além do máximo divisor comum, existe também o mínimo múltiplo comum, conhecido como MMC, que é o menor múltiplo em comum que dois ou mais números possuem.

As diferenças entre eles é que, no MDC, estamos calculando o maior divisor em comum; já no MMC, estamos trabalhando com o menor múltiplo em comum.

Exemplo 1:

Dados os números 32 e 24, encontre o MDC entre eles.

  • 1º passo: vamos listar os divisores de 32 e os divisores de 24.

D(32) = {1,2,4,8,16, 32}

D(24) = {1,2,3,4,6,8, 12, 24}

  • 2º passo: agora encontraremos o maior número que divide ambos ao mesmo tempo.

MDC (32,24) = 8

Oito é o maior número que divide 32 e 24 ao mesmo tempo.

Exemplo 2:

Dados os números 24 e 32, encontre o MMC entre eles.

Vamos listar os múltiplos de 24 e de 32 até encontrar um que seja comum aos dois.

M(24) = {0, 24, 48, 72, 96 ...}

M(32) = {0, 32, 64, 96 …}

MMC(24,32) = 96

Exercícios resolvidos sobre MDC

Questão 1

(Enem 2015) O gerente de um cinema fornece anualmente ingressos gratuitos para escolas. Este ano, serão distribuídos 400 ingressos para uma sessão vespertina e 320 ingressos para uma sessão noturna de um mesmo filme. Várias escolas podem ser escolhidas para receberem ingressos. Há alguns critérios para a distribuição dos ingressos:

1) cada escola deverá receber ingressos para uma única sessão;

2) todas as escolas contempladas deverão receber o mesmo número de ingressos;

3) não haverá sobra de ingressos (ou seja, todos os ingressos serão distribuídos).

O número mínimo de escolas que podem ser escolhidas para obter ingressos, segundo os critérios estabelecidos, é:

A) 2.

B) 4.

C) 9.

D) 40.

E) 80.

Resolução:

Alternativa C.

Calculando o MDC entre 320 e 400, temos que:

Cálculo do MDC entre 320 e 400

Para encontrar o MDC, vamos multiplicar os números que são divisores tanto de 320 quanto de 400:

MDC (400, 320) = 24 · 5 = 16 · 5 = 80

Cada escola receberá 80 ingressos, logo 720 : 80 = 9 escolas.

Questão 2

A Câmara de Vereadores de um município é composta por 16 mulheres e 12 homens, que serão divididos no maior número possível de comissões de tal forma que cada comissão tenha o mesmo número de membros. O número de membros em cada comissão é igual a:

A) 8.

B) 7.

C) 6.

D) 5.

E) 4.

Resolução:

Alternativa E.

Encontrando o MDC entre 16 e 12, temos que:

D(16) = {1, 2, 4, 8, 16}

D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Analisando as listas, o maior divisor em comum entre esses números é 4.

MDC(16, 12) = 4

Então, cada comissão terá um total de 4 pessoas.

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Máximo divisor comum (MDC)"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/maximo-divisor-comum.htm. Acesso em 24 de setembro de 2021.

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Lista de Exercícios
Questão 1

Em um canil, há 15 Chihuahuas, 40 Yorkshires e 75 Poodles. O dono gostaria de organizar os cães em grupos, de modo que cada grupo possua o mesmo número de cães e cada raça esteja igualmente distribuída nos grupos. Qual é o número máximo de grupos que podem ser formados com quantidades iguais de cada raça? Quantos cães de cada raça haverá por grupo?

Questão 2

Um homem comprou duas tábuas de madeira para a reforma de sua casa. Para aproveitar a oferta da loja, ele comprou uma tábua de 3,5 m e outra de 2,1 m, pois elas estavam de liquidação. Precavido, ele só comprou essas tábuas de tamanhos diferentes depois que o vendedor garantiu que ele conseguiria dividir as duas tábuas em pedaços de mesmo tamanho. Qual é o maior tamanho que as partes poderão ter? Com esse comprimento, quantas partes da tábua o homem terá?

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