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Máximo Divisor Comum

Matemática

O máximo divisor comum entre dois ou mais números nada mais é do que o maior valor numérico que divide todos os números.
Aprenda a calcular o máximo divisor comum de forma rápida e fácil
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O máximo divisor comum (MDC) entre dois ou mais números é simplesmente o maior valor numérico que divide todos esses números. Os divisores de um número são todos aqueles valores numéricos que dividem esse número e que não deixam resto na divisão. Vejamos os divisores dos números 20 e 50.

D (20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20

D (50) = 1, 2, 5, 10, 25, 50

Os números 20 e 50 possuem o 2 e o 10 como divisores comuns. Mas o máximo divisor comum entre 20 e 50 é o 10. Representamos:

MDC (20, 50) = 10

Outra forma de encontrar o MDC entre dois ou mais números é através de sucessivas divisões. Nós devemos realizar a divisão do maior pelo menor número para, em seguida, fazer uma nova divisão, sendo que o número encontrado no resto será o novo divisor e o número que estava no divisor será agora o dividendo. Repetimos esse processo até encontrar resto zero. Vejamos um exemplo: se desejamos encontrar o máximo divisor comum entre 20 e 50, devemos fazer “50 dividido por 20”, o que origina resto 10. Fazemos então a divisão de 20 por 10 e temos uma divisão exata. Portanto, como nosso último divisor foi o 10, dizemos então que o 10 é o máximo divisor comum entre 20 e 50. Vejamos no esquema a seguir esse processo:

Por meio de divisões sucessivas, encontramos que o MDC (20, 50) = 10
Por meio de divisões sucessivas, encontramos que o MDC (20, 50) = 10

Vejamos agora o MDC (3, 4). Primeiramente efetuamos a divisão de 4 por 3. Fazendo essa divisão, encontramos resto 1. Vamos agora fazer a divisão de 3 por 1, que é uma divisão exata, pois deixa resto zero. Dizemos então que MDC (3, 4) = 1. Sempre que o máximo divisor comum entre dois números é 1, dizemos que esses números são primos entre si.

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Vamos ver agora o cálculo para determinar o máximo divisor comum entre 12 e 20:

Através de divisões sucessivas, verificamos que o máximo divisor comum entre 12 e 20 é o número 4
Através de divisões sucessivas, verificamos que o máximo divisor comum entre 12 e 20 é o número 4

Para determinar o MDC (12, 20), nós dividimos o 20 por 12, obtendo resto 08. Então fazemos 12 dividido por 8 e obtemos resto 4. Por fim, nós fazemos 8 dividido por 4 e encontramos resto 0, o que nos garante que MDC (12, 20) = 4.

Para encontrar o máximo divisor comum entre três ou mais números, devemos repetir o mesmo processo entre dois dos números para então dividir o terceiro número pelo valor encontrado. Pensemos no cálculo do máximo divisor comum entre os números 4, 6 e 10. Primeiramente, nós realizamos o cálculo do máximo divisor comum entre 4 e 6. Facilmente verificamos que MDC (4, 6) = 2. Então fazemos o terceiro número dividido por esse 2 recém-encontrado. Ao dividir 10 por 2, encontramos resto zero. Dizemos, portanto, que o MDC (4, 6, 10) é 2.

Utilizando o processo das divisões sucessivas é possível encontrar o MDC entre três números ou mais
Utilizando o processo das divisões sucessivas é possível encontrar o MDC entre três números ou mais

Essa regra pode ser aplicada também para resolver problemas que envolvem a ideia de máximo divisor comum.


Por Amanda Gonçalves
Graduada em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Máximo Divisor Comum"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/maximo-divisor-comum.htm. Acesso em 22 de julho de 2019.

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Lista de Exercícios
Questão 1

Em um canil, há 15 Chihuahuas, 40 Yorkshires e 75 Poodles. O dono gostaria de organizar os cães em grupos, de modo que cada grupo possua o mesmo número de cães e cada raça esteja igualmente distribuída nos grupos. Qual é o número máximo de grupos que podem ser formados com quantidades iguais de cada raça? Quantos cães de cada raça haverá por grupo?

Questão 2

Um homem comprou duas tábuas de madeira para a reforma de sua casa. Para aproveitar a oferta da loja, ele comprou uma tábua de 3,5 m e outra de 2,1 m, pois elas estavam de liquidação. Precavido, ele só comprou essas tábuas de tamanhos diferentes depois que o vendedor garantiu que ele conseguiria dividir as duas tábuas em pedaços de mesmo tamanho. Qual é o maior tamanho que as partes poderão ter? Com esse comprimento, quantas partes da tábua o homem terá?

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