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A lei dos cossenos é uma expressão matemática que relaciona os três lados de um triângulo qualquer. Por não estar restrita ao triângulo retângulo, a lei dos cossenos pode ser entendida como uma generalização do teorema de Pitágoras.
Veja também: Classificação de triângulos — os critérios utilizados nos dois tipos de classificação que existem
Tópicos deste artigo
- 1 - Resumo sobre lei dos cossenos
- 2 - Videoaula sobre lei dos cossenos
- 3 - O que é cosseno?
- 4 - O que diz a lei dos cossenos?
- 5 - Fórmula da lei dos cossenos
- 6 - Demonstração e aplicação da lei dos cossenos
- 7 - Quando aplicar a lei dos cossenos?
- 8 - Lei dos cossenos no triângulo retângulo
- 9 - Exercícios resolvidos sobre lei dos cossenos
Resumo sobre lei dos cossenos
- A lei dos cossenos é uma relação matemática entre os três lados de um triângulo qualquer.
- A fórmula da lei dos cossenos é \(c^2=a^2+b^2–2abcos\hat{C}\), em que a, b e c são os lados de um triângulo e \(\hat{C}\) é o ângulo oposto ao lado c.
- A lei dos cossenos é aplicável quando são conhecidos os três lados de um triângulo e procura-se a medida de um ângulo ou quando dois lados e o ângulo entre eles são dados, mas busca-se o terceiro lado.
- Quando a lei dos cossenos é usada em um triângulo retângulo, a expressão resulta no teorema de Pitágoras. Portanto, a lei dos cossenos generaliza o teorema de Pitágoras.
Videoaula sobre lei dos cossenos
O que é cosseno?
Cosseno é uma função trigonométrica, e seu valor está associado a um ângulo. Existem algumas maneiras de obter o cosseno de um ângulo. Uma delas é quando o ângulo em questão é interno a um triângulo retângulo: seu cosseno será a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e à hipotenusa.
Outra forma muito útil para encontrar o cosseno de ângulos maiores que 90° é por meio do ciclo trigonométrico. Por exemplo, conhecendo o cosseno de 60°, podemos encontrar o cosseno de 120°:
O que diz a lei dos cossenos?
Considere ABC um triângulo em que a é a medida do lado oposto ao ângulo A, b é a medida do lado oposto ao ângulo B e c é a medida do lado oposto ao ângulo \(\hat{C}\).
Nessas condições, a lei dos cossenos determina que o quadrado de c é igual à soma dos quadrados de a e b menos o produto entre a, b e o cosseno de \(\hat{C}\).
Fórmula da lei dos cossenos
Em símbolos matemáticos, utilizando a nomenclatura descrita para os lados e ângulos de um triângulo ABC, podemos escrever a fórmula da lei dos cossenos:
\(c^2=a^2+b^2–2ab\cos\hat{C}\)
- Exemplo:
Um triângulo possui dois lados com medidas 3 cm e 5 cm e ângulo de 135° entre esses lados. Qual a medida aproximada do terceiro lado?
Resolução:
Observe que podemos resolver esse exercício ao nomear os vértices (e consequentemente os lados e ângulos) do triângulo de maneira conveniente:
Substituindo na fórmula da lei dos cossenos:
\(c^2=a^2+b^2–2ab\ cos\ \hat{C}\)
\(c^2=3^2+5^2–2⋅3⋅5\cos135°\)
Como \(cos135°=cos45°=\frac{\sqrt2}{2}\), concluímos que \(c\approx7,43 cm\).
Demonstração e aplicação da lei dos cossenos
Para provar a veracidade da lei dos cossenos, considere a imagem auxiliar a seguir, formada por dois triângulos retângulos com um lado em comum:
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo à esquerda, obtemos a seguinte expressão:
\(b^2=x^2+h^2\)
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo à direita:
\(c^2=\left(a-x\right)^2+h^2\)
\(c^2=a^2-2ax+x^2+h^2\)
Substituindo a expressão b2=x2+h2 na expressão anterior, temos:
\(c^2=a^2-2ax+b^2\)
No triângulo à esquerda, observe que \(\cos{\hat{C}}\ =\ \frac{x}{b}\). Assim, podemos escrever \(x=b\cos{\hat{C}}\). Substituindo isso na expressão \(c^2=a^2-2ax+b^2\) e organizando os termos, obtemos a lei dos cossenos:
\(c^2=a^2+b^2–2ab\cos\hat{C}\)
Importante: Na imagem da demonstração anterior, o ângulo \(\hat{C}\) é visualmente agudo. Poderíamos supor que C fosse obtuso e concluir que a lei dos cossenos continuaria válida.
- Exemplo:
Um triângulo possui lados de medida 5 cm, 7 cm e 8 cm. Qual a medida do ângulo oposto ao lado de 7 cm?
Resolução:
Nesse caso, se busca saber o ângulo entre os lados de 5 cm e 8 cm. Note que a situação é diferente do exemplo anterior: agora temos as medidas dos três lados, porém desconhecemos um ângulo. Pelas informações do enunciado, podemos construir o seguinte triângulo:
Perceba que chamamos de c o lado de 7 cm, pois buscamos a medida do ângulo oposto a ele. Aplicando a lei dos cossenos:
\(c^2=a^2+b^2–2ab\cos \hat{C}\)
\(7^2=5^2+8^2–2⋅5⋅8⋅cos\hat{C}\)
\(\cos{\hat{C}}=\frac{1}{2}\)
Buscamos um ângulo cujo cosseno seja igual a \(\frac{1}{2}\). Como esse ângulo é interno a um triângulo, \(0<\hat{C}<180°\). Assim, concluímos que:
\(\hat{C}=60°\)
Saiba mais: Lei dos senos — outra expressão matemática que permite relacionar lados e ângulos de qualquer triângulo
Quando aplicar a lei dos cossenos?
Aplicamos a lei dos cossenos em dois casos principais:
- quando são conhecidos dois lados de um triângulo e o ângulo entre eles, porém queremos a medida do terceiro lado;
- quando os três lados de um triângulo são conhecidos, mas queremos a medida de um dos ângulos.
Importante: Um detalhe importante na aplicação da lei dos cossenos é a nomenclatura dos lados. Caso o exercício estudado já apresente um triângulo com os nomes dos vértices e lados definidos, pode ser necessária uma breve adaptação na fórmula. Observe o exemplo a seguir.
- Exemplo:
Considere o triângulo ABC abaixo, com lados b = 12 cm, c = 20 cm e ângulo  = 120°. Qual a medida do lado a?
Resolução:
Aqui, o lado desconhecido é a, e o ângulo oposto a ele é conhecido. Perceba que podemos empregar a lei dos cossenos normalmente com o seguinte ajuste:
\(a^2=b^2+c^2–2bc\ cosÂ\)
Substituindo os dados na fórmula:
\(a^2={12}^2+{20}^2–2⋅12⋅20⋅cos120°\)
Como \(cos120°=-cos60°=-\frac12 \), concluímos que
\(a^2=784\)
\(a=28 cm\)
Lei dos cossenos no triângulo retângulo
Nos exemplos anteriores, aplicamos a lei dos cossenos em triângulos acutângulos e obtusângulos, mas é importante ressaltar que a lei dos cossenos também pode ser aplicada em triângulos retângulos. Veja a seguir o que acontece quando o ângulo em questão na lei dos cossenos é reto.
- Exemplo:
Considere um triângulo retângulo ABC com catetos medindo a e b, hipotenusa medindo c e \(\hat{C}=90°\).
Resolução:
Aplicando a lei dos cossenos, temos que:
\(c^2=a^2+b^2–2ab\cos90°\)
Como \(cos90°=0\), a expressão se reduz a \(c^2=a^2+b^2\), que é o teorema de Pitágoras. Portanto, a lei dos cossenos é uma versão generalizada do teorema de Pitágoras, pois pode ser empregada em qualquer triângulo.
Exercícios resolvidos sobre lei dos cossenos
Questão 1
(Unifor) Um terreno de forma triangular tem frente de 10 m e 20 m, em ruas que formam, entre si, um ângulo de 120°. A medida do terceiro lado do terreno, em metros, é:
A) \(10\sqrt5\)
B) \(10\sqrt6\)
C) \(10\sqrt7\)
D) \(26\)
E) \(20\sqrt2\)
Resolução:
Alternativa C
Perceba que são conhecidos dois lados do terreno triangular e o ângulo entre eles, mas buscamos o terceiro lado. Assim, podemos aplicar a lei dos cossenos:
\(c^2={10}^2+{20}^2–2.10.20\cos120°\)
Como \(cos120° = –\frac12\) , concluímos que \(c^2=10\sqrt7\).
Questão 2
(UFPR) Calcule o seno do maior ângulo de um triângulo cujos lados medem 4, 6 e 8 metros.
A) \( \frac{\sqrt{15}}{4}\)
B) \( \frac{1}{4}\)
C) \( \frac{1}{2}\)
D) \( \frac{\sqrt{10}}{4}\)
E) \( \frac{\sqrt3}{2}\)
Resolução:
Alternativa A
Como 8 é o maior lado do triângulo, o maior ângulo será o ângulo oposto a ele. Assim, aplicando a lei dos cossenos:
\(8^2=4^2+6^2–2 ‧ 4 ‧ 6cosC\)
Resolvendo essa expressão, concluímos que \(\cos{\hat{C}}=-\frac{1}{4}\).
Note que a questão não pede a medida desse ângulo, mas sim seu seno. Utilizando a relação fundamental da Trigonometria, \(sen^2\hat{C}+cos^2\hat{C}=1\), obtemos \(sen{\hat{C}=\frac{\sqrt{15}}{4}\ }\).
Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática
