Utilizamos a lei dos cossenos nas situações que envolvem triângulos não retângulos. Esses triângulos não possuem ângulo reto, portanto, as relações trigonométricas de seno, cosseno e tangente não são válidas. Para determinar valores de medidas de ângulos e de lados, utilizamos a lei dos cossenos, que é expressa pela seguinte lei de formação:
a2 = b2 + c2 – 2·b·c·cosθ
b2 = a2 + c2 – 2·a·c·cosβ
c2 = a2 + b2 – 2·a·b·cosα
Triângulo não retângulo para o qual valem as expressões acima
Exemplos
1º) Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do segmento x no triângulo a seguir:
72 = x2 + 32 – 2·3·x·cos60
49 = x2 + 9 – 6·x·0,5
49 = x2 + 9 – 3·x
x2 – 3x – 40 = 0
Aplicando o método resolutivo da equação do 2º grau, temos: x’ = 8 e x” = – 5. Por se tratar de medidas, descartamos x” = –5 e utilizamos x’ = 8. O valor de x no triângulo é 8 cm.
2º) Em um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 6 cm, AC = 5 cm e BC = 7 cm. Determine a medida do ângulo A.
Vamos construir o triângulo com as medidas fornecidas no exercício:
Aplicando a lei dos cossenos, temos:
a = 7, b = 6 e c = 5
7² = 6² + 5² – 2 * 6 * 5 * cos A
49 = 36 + 25 – 60 * cos A
49 – 36 – 25 = –60 * cos A
–12 = –60 * cos A
12 = 60 * cos A
12/60 = cos A
cos A = 0,2
O ângulo que possui cosseno com valor aproximado de 0,2 mede 78º.
3º) Calcule a medida da maior diagonal do paralelogramo da figura a seguir utilizando a lei dos cossenos.
cos 120º = –cos(180º – 120º) = – cos 60º = – 0,5
x² = 5² + 10² – 2 * 5 * 10 * ( – cos 60º)
x² = 25 + 100 – 100 * (–0,5)
x² = 125 + 50
x² = 175
√x² = √175
x = √5² * 7
x = 5√7
Portanto, a diagonal do paralelogramo mede 5√7 cm.
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:
SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Lei do cosseno"; Brasil Escola. Disponível em <https://brasilescola.uol.com.br/matematica/lei-coseno.htm>. Acesso em 15 de dezembro de 2018.
(UF- Viçosa) Dois lados de um terreno de forma triangular medem 15 m e 10 m, formando um ângulo de 60°, conforme a figura abaixo:
O comprimento do muro necessário para cercar o terreno, em metros, é:
a) 5(5 + √15)
b) 5(5 + √5)
c) 5(5 + √13)
d) 5(5 + √11)
e) 5(5 + √7)
(UF- Juiz de Fora) Dois lados de um triângulo medem 8 m e 10 m e formam um ângulo de 60°. O terceiro lado desse triângulo mede:
a) 2√21 m
b) 2√31 m
c) 2√41 m
d) 2√51 m
e) 2√61 m
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