Lei do cosseno

Utilizamos a lei dos cossenos nas situações que envolvem triângulos não retângulos. Esses triângulos não possuem ângulo reto, portanto, as relações trigonométricas de seno, cosseno e tangente não são válidas. Para determinar valores de medidas de ângulos e de lados, utilizamos a lei dos cossenos, que é expressa pela seguinte lei de formação:

a² = b² + c² – 2·b·c·cosθ
b² = a² + c² – 2·a·c·cosβ
c² = a² + b² – 2·a·b·cosα

Triângulo não retângulo para o qual valem as expressões acima

Exemplos

1º) Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do segmento x no triângulo a seguir:

7² = x² + 3² – 2·3·x·cos60
49 = x² + 9 – 6·x·0,5
49 = x² + 9 – 3·x
x² – 3x – 40 = 0

Aplicando o método resolutivo da equação do 2º grau, temos: x’ = 8 e x” = – 5. Por se tratar de medidas, descartamos x” = –5 e utilizamos x’ = 8. O valor de x no triângulo é 8 cm.

2º) Em um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 6 cm, AC = 5 cm e BC = 7 cm. Determine a medida do ângulo A.

Vamos construir o triângulo com as medidas fornecidas no exercício:

Aplicando a lei dos cossenos, temos:

a = 7, b = 6 e c = 5

7² = 6² + 5² – 2 * 6 * 5 * cos A
49 = 36 + 25 – 60 * cos A
49 – 36 – 25 = –60 * cos A
–12 = –60 * cos A
12 = 60 * cos A
12/60 = cos A
cos A = 0,2

O ângulo que possui cosseno com valor aproximado de 0,2 mede 78º.

3º) Calcule a medida da maior diagonal do paralelogramo da figura a seguir utilizando a lei dos cossenos.

cos 120º = –cos(180º – 120º) = – cos 60º = – 0,5

x² = 5² + 10² – 2 * 5 * 10 * ( – cos 60º)
x² = 25 + 100 – 100 * (–0,5)
x² = 125 + 50
x² = 175
√x² = √175
x = √5² * 7
x = 5√7

Portanto, a diagonal do paralelogramo mede 5√7 cm.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

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SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Lei do cosseno"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/lei-coseno.htm. Acesso em 16 de janeiro de 2022.