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Lei dos cossenos

A lei dos cossenos é uma relação entre os três lados de um triângulo qualquer e pode ser considerada uma generalização do teorema de Pitágoras.

Lei dos cossenos.
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A lei dos cossenos é uma expressão matemática que relaciona os três lados de um triângulo qualquer. Por não estar restrita ao triângulo retângulo, a lei dos cossenos pode ser entendida como uma generalização do teorema de Pitágoras.

Veja também: Classificação de triângulos — os critérios utilizados nos dois tipos de classificação que existem

Tópicos deste artigo

Resumo sobre lei dos cossenos

  • A lei dos cossenos é uma relação matemática entre os três lados de um triângulo qualquer.
  • A fórmula da lei dos cossenos é \(c^2=a^2+b^2–2abcos\hat{C}\), em que a, b e c são os lados de um triângulo e \(\hat{C}\) é o ângulo oposto ao lado c.
  • A lei dos cossenos é aplicável quando são conhecidos os três lados de um triângulo e procura-se a medida de um ângulo ou quando dois lados e o ângulo entre eles são dados, mas busca-se o terceiro lado.
  • Quando a lei dos cossenos é usada em um triângulo retângulo, a expressão resulta no teorema de Pitágoras. Portanto, a lei dos cossenos generaliza o teorema de Pitágoras.

Videoaula sobre lei dos cossenos

O que é cosseno?

Cosseno é uma função trigonométrica, e seu valor está associado a um ângulo. Existem algumas maneiras de obter o cosseno de um ângulo. Uma delas é quando o ângulo em questão é interno a um triângulo retângulo: seu cosseno será a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e à hipotenusa.

Fórmula para calcular o cosseno de um triângulo retângulo.

Outra forma muito útil para encontrar o cosseno de ângulos maiores que 90° é por meio do ciclo trigonométrico. Por exemplo, conhecendo o cosseno de 60°, podemos encontrar o cosseno de 120°:

Ciclo trigonométrico sendo utilizado para encontrar o cosseno de um triângulo retângulo.
O cosseno de 120° possui o mesmo valor absoluto que o cosseno de 60°, mas com sinal oposto.

O que diz a lei dos cossenos?

Considere ABC um triângulo em que a é a medida do lado oposto ao ângulo A, b é a medida do lado oposto ao ângulo B e c é a medida do lado oposto ao ângulo \(\hat{C}\).

Exemplo de triângulo para definição da lei dos cossenos.

Nessas condições, a lei dos cossenos determina que o quadrado de c é igual à soma dos quadrados de a e b menos o produto entre a, b e o cosseno de \(\hat{C}\).

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Fórmula da lei dos cossenos

Em símbolos matemáticos, utilizando a nomenclatura descrita para os lados e ângulos de um triângulo ABC, podemos escrever a fórmula da lei dos cossenos:

\(c^2=a^2+b^2–2ab\cos\hat{C}\)

  • Exemplo:

Um triângulo possui dois lados com medidas 3 cm e 5 cm e ângulo de 135° entre esses lados. Qual a medida aproximada do terceiro lado?

Resolução:

Observe que podemos resolver esse exercício ao nomear os vértices (e consequentemente os lados e ângulos) do triângulo de maneira conveniente:

Triângulo com indicação da medida de dois dos seus lados e de um ângulo interno, no qual se usará a lei dos cossenos.

Substituindo na fórmula da lei dos cossenos:

\(c^2=a^2+b^2–2ab\ cos\ \hat{C}\)

\(c^2=3^2+5^2–2⋅3⋅5\cos135°\)

Como \(cos135°=cos45°=\frac{\sqrt2}{2}\), concluímos que \(c\approx7,43 cm\).

Demonstração e aplicação da lei dos cossenos

Para provar a veracidade da lei dos cossenos, considere a imagem auxiliar a seguir, formada por dois triângulos retângulos com um lado em comum:

Dois triângulos retângulos com um lado em comum, que será utilizado para demonstrar a lei dos cossenos.

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo à esquerda, obtemos a seguinte expressão:

\(b^2=x^2+h^2\)

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo à direita:

\(c^2=\left(a-x\right)^2+h^2\)

\(c^2=a^2-2ax+x^2+h^2\)

Substituindo a expressão b2=x2+h2 na expressão anterior, temos:

\(c^2=a^2-2ax+b^2\)

No triângulo à esquerda, observe que \(\cos{\hat{C}}\ =\ \frac{x}{b}\). Assim, podemos escrever \(x=b\cos{\hat{C}}\). Substituindo isso na expressão \(c^2=a^2-2ax+b^2\) e organizando os termos, obtemos a lei dos cossenos:

\(c^2=a^2+b^2–2ab\cos\hat{C}\)

Importante: Na imagem da demonstração anterior, o ângulo \(\hat{C}\) é visualmente agudo. Poderíamos supor que C fosse obtuso e concluir que a lei dos cossenos continuaria válida.

  • Exemplo:

Um triângulo possui lados de medida 5 cm, 7 cm e 8 cm. Qual a medida do ângulo oposto ao lado de 7 cm?

Resolução:

Nesse caso, se busca saber o ângulo entre os lados de 5 cm e 8 cm. Note que a situação é diferente do exemplo anterior: agora temos as medidas dos três lados, porém desconhecemos um ângulo. Pelas informações do enunciado, podemos construir o seguinte triângulo:

Triângulo com indicação da medida dos seus lados, no qual se usará a lei dos cossenos para descobrir a medida do ângulo C.

Perceba que chamamos de c o lado de 7 cm, pois buscamos a medida do ângulo oposto a ele. Aplicando a lei dos cossenos:

\(c^2=a^2+b^2–2ab\cos \hat{C}\)

\(7^2=5^2+8^2–2⋅5⋅8⋅cos\hat{C}\)

\(\cos{\hat{C}}=\frac{1}{2}\)

Buscamos um ângulo cujo cosseno seja igual a \(\frac{1}{2}\). Como esse ângulo é interno a um triângulo, \(0<\hat{C}<180°\). Assim, concluímos que:

\(\hat{C}=60°\)

Saiba mais: Lei dos senos — outra expressão matemática que permite relacionar lados e ângulos de qualquer triângulo

Quando aplicar a lei dos cossenos?

Aplicamos a lei dos cossenos em dois casos principais:

  1. quando são conhecidos dois lados de um triângulo e o ângulo entre eles, porém queremos a medida do terceiro lado;
  2. quando os três lados de um triângulo são conhecidos, mas queremos a medida de um dos ângulos.

Importante: Um detalhe importante na aplicação da lei dos cossenos é a nomenclatura dos lados. Caso o exercício estudado já apresente um triângulo com os nomes dos vértices e lados definidos, pode ser necessária uma breve adaptação na fórmula. Observe o exemplo a seguir.

  • Exemplo:

Considere o triângulo ABC abaixo, com lados b = 12 cm, c = 20 cm e ângulo  = 120°. Qual a medida do lado a?

Triângulo no qual a lei dos cossenos será aplicada.

Resolução:

Aqui, o lado desconhecido é a, e o ângulo oposto a ele é conhecido. Perceba que podemos empregar a lei dos cossenos normalmente com o seguinte ajuste:

\(a^2=b^2+c^2–2bc\ cosÂ\)

Substituindo os dados na fórmula:

\(a^2={12}^2+{20}^2–2⋅12⋅20⋅cos120°\)

Como \(cos120°=-cos60°=-\frac12 \), concluímos que

\(a^2=784\)

\(a=28 cm\)

Lei dos cossenos no triângulo retângulo

Nos exemplos anteriores, aplicamos a lei dos cossenos em triângulos acutângulos e obtusângulos, mas é importante ressaltar que a lei dos cossenos também pode ser aplicada em triângulos retângulos. Veja a seguir o que acontece quando o ângulo em questão na lei dos cossenos é reto.

  • Exemplo:

Considere um triângulo retângulo ABC com catetos medindo a e b, hipotenusa medindo c e \(\hat{C}=90°\).

Resolução:

Aplicando a lei dos cossenos, temos que:

\(c^2=a^2+b^2–2ab\cos90°\)

Como \(cos90°=0\), a expressão se reduz a \(c^2=a^2+b^2\), que é o teorema de Pitágoras. Portanto, a lei dos cossenos é uma versão generalizada do teorema de Pitágoras, pois pode ser empregada em qualquer triângulo.

Exercícios resolvidos sobre lei dos cossenos

Questão 1

(Unifor) Um terreno de forma triangular tem frente de 10 m e 20 m, em ruas que formam, entre si, um ângulo de 120°. A medida do terceiro lado do terreno, em metros, é:

A) \(10\sqrt5\)

B) \(10\sqrt6\)

C) \(10\sqrt7\)

D) \(26\)

E) \(20\sqrt2\)

Resolução:

Alternativa C

Perceba que são conhecidos dois lados do terreno triangular e o ângulo entre eles, mas buscamos o terceiro lado. Assim, podemos aplicar a lei dos cossenos:

\(c^2={10}^2+{20}^2–2.10.20\cos120°\)

Como \(cos120° = –\frac12\) , concluímos que \(c^2=10\sqrt7\).

Questão 2

(UFPR) Calcule o seno do maior ângulo de um triângulo cujos lados medem 4, 6 e 8 metros.

A) \( \frac{\sqrt{15}}{4}\)

B) \( \frac{1}{4}\)

C) \( \frac{1}{2}\)

D) \( \frac{\sqrt{10}}{4}\)

E) \( \frac{\sqrt3}{2}\)

Resolução:

Alternativa A

Como 8 é o maior lado do triângulo, o maior ângulo será o ângulo oposto a ele. Assim, aplicando a lei dos cossenos:

\(8^2=4^2+6^2–2 ‧ 4 ‧ 6cosC\)

Resolvendo essa expressão, concluímos que \(\cos{\hat{C}}=-\frac{1}{4}\).

Note que a questão não pede a medida desse ângulo, mas sim seu seno. Utilizando a relação fundamental da Trigonometria, \(sen^2\hat{C}+cos^2\hat{C}=1\), obtemos \(sen{\hat{C}=\frac{\sqrt{15}}{4}\ }\).

 

Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática

Escritor do artigo
Escrito por: Maria Luiza Alves Rizzo Autora, Leitora Crítica e Revisora de Matemática apaixonada por escrever. Especialista pela UFPI (2023) e Licenciada pela UFSM (2022), trabalha em projetos editoriais para o Ensino Fundamental, Ensino Médio e Pré-vestibular.

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

RIZZO, Maria Luiza Alves. "Lei dos cossenos"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/lei-coseno.htm. Acesso em 26 de fevereiro de 2024.

De estudante para estudante


Videoaulas


Lista de exercícios


Exercício 1

(UF- Viçosa) Dois lados de um terreno de forma triangular medem 15 m e 10 m, formando um ângulo de 60°, conforme a figura abaixo:

O comprimento do muro necessário para cercar o terreno, em metros, é:

a) 5(5 + √15)

b) 5(5 + √5)

c) 5(5 + √13)

d) 5(5 + √11)

e) 5(5 + √7)

Exercício 2

(UF- Juiz de Fora) Dois lados de um triângulo medem 8 m e 10 m e formam um ângulo de 60°. O terceiro lado desse triângulo mede:

a) 2√21 m

b) 2√31 m

c) 2√41 m

d) 2√51 m

e) 2√61 m

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