Lei dos cossenos

A lei dos cossenos é uma expressão matemática que relaciona os três lados de um triângulo qualquer. Por não estar restrita ao triângulo retângulo, a lei dos cossenos pode ser entendida como uma generalização do teorema de Pitágoras.

Veja também: Classificação de triângulos — os critérios utilizados nos dois tipos de classificação que existem

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre lei dos cossenos
• 2 - Videoaula sobre lei dos cossenos
• 3 - O que é cosseno?
• 4 - O que diz a lei dos cossenos?
• 5 - Fórmula da lei dos cossenos
• 6 - Demonstração e aplicação da lei dos cossenos
• 7 - Quando aplicar a lei dos cossenos?
• 8 - Lei dos cossenos no triângulo retângulo
• 9 - Exercícios resolvidos sobre lei dos cossenos

Resumo sobre lei dos cossenos

• A lei dos cossenos é uma relação matemática entre os três lados de um triângulo qualquer.
• A fórmula da lei dos cossenos é $c^2=a^2+b^2–2abcos\hat{C}$, em que a, b e c são os lados de um triângulo e $\hat{C}$ é o ângulo oposto ao lado c.
• A lei dos cossenos é aplicável quando são conhecidos os três lados de um triângulo e procura-se a medida de um ângulo ou quando dois lados e o ângulo entre eles são dados, mas busca-se o terceiro lado.
• Quando a lei dos cossenos é usada em um triângulo retângulo, a expressão resulta no teorema de Pitágoras. Portanto, a lei dos cossenos generaliza o teorema de Pitágoras.

Videoaula sobre lei dos cossenos

O que é cosseno?

Cosseno é uma função trigonométrica, e seu valor está associado a um ângulo. Existem algumas maneiras de obter o cosseno de um ângulo. Uma delas é quando o ângulo em questão é interno a um triângulo retângulo: seu cosseno será a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e à hipotenusa.

Outra forma muito útil para encontrar o cosseno de ângulos maiores que 90° é por meio do ciclo trigonométrico. Por exemplo, conhecendo o cosseno de 60°, podemos encontrar o cosseno de 120°:

O que diz a lei dos cossenos?

Considere ABC um triângulo em que a é a medida do lado oposto ao ângulo A, b é a medida do lado oposto ao ângulo B e c é a medida do lado oposto ao ângulo $\hat{C}$.

Nessas condições, a lei dos cossenos determina que o quadrado de c é igual à soma dos quadrados de a e b menos o produto entre a, b e o cosseno de $\hat{C}$.

Fórmula da lei dos cossenos

Em símbolos matemáticos, utilizando a nomenclatura descrita para os lados e ângulos de um triângulo ABC, podemos escrever a fórmula da lei dos cossenos:

$c^2=a^2+b^2–2ab\cos\hat{C}$

• Exemplo:

Um triângulo possui dois lados com medidas 3 cm e 5 cm e ângulo de 135° entre esses lados. Qual a medida aproximada do terceiro lado?

Resolução:

Observe que podemos resolver esse exercício ao nomear os vértices (e consequentemente os lados e ângulos) do triângulo de maneira conveniente:

Substituindo na fórmula da lei dos cossenos:

$c^2=a^2+b^2–2ab\ cos\ \hat{C}$

$c^2=3^2+5^2–2⋅3⋅5\cos135°$

Como $cos135°=cos45°=\frac{\sqrt2}{2}$, concluímos que $c\approx7,43 cm$.

Demonstração e aplicação da lei dos cossenos

Para provar a veracidade da lei dos cossenos, considere a imagem auxiliar a seguir, formada por dois triângulos retângulos com um lado em comum:

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo à esquerda, obtemos a seguinte expressão:

$b^2=x^2+h^2$

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo à direita:

$c^2=\left(a-x\right)^2+h^2$

$c^2=a^2-2ax+x^2+h^2$

Substituindo a expressão b2=x2+h2 na expressão anterior, temos:

$c^2=a^2-2ax+b^2$

No triângulo à esquerda, observe que $\cos{\hat{C}}\ =\ \frac{x}{b}$. Assim, podemos escrever $x=b\cos{\hat{C}}$. Substituindo isso na expressão $c^2=a^2-2ax+b^2$ e organizando os termos, obtemos a lei dos cossenos:

$c^2=a^2+b^2–2ab\cos\hat{C}$

Importante: Na imagem da demonstração anterior, o ângulo $\hat{C}$ é visualmente agudo. Poderíamos supor que C fosse obtuso e concluir que a lei dos cossenos continuaria válida.

• Exemplo:

Um triângulo possui lados de medida 5 cm, 7 cm e 8 cm. Qual a medida do ângulo oposto ao lado de 7 cm?

Resolução:

Nesse caso, se busca saber o ângulo entre os lados de 5 cm e 8 cm. Note que a situação é diferente do exemplo anterior: agora temos as medidas dos três lados, porém desconhecemos um ângulo. Pelas informações do enunciado, podemos construir o seguinte triângulo:

Perceba que chamamos de c o lado de 7 cm, pois buscamos a medida do ângulo oposto a ele. Aplicando a lei dos cossenos:

$c^2=a^2+b^2–2ab\cos \hat{C}$

$7^2=5^2+8^2–2⋅5⋅8⋅cos\hat{C}$

$\cos{\hat{C}}=\frac{1}{2}$

Buscamos um ângulo cujo cosseno seja igual a $\frac{1}{2}$. Como esse ângulo é interno a um triângulo, $0<\hat{C}<180°$. Assim, concluímos que:

$\hat{C}=60°$

Saiba mais: Lei dos senos — outra expressão matemática que permite relacionar lados e ângulos de qualquer triângulo

Quando aplicar a lei dos cossenos?

Aplicamos a lei dos cossenos em dois casos principais:

1. quando são conhecidos dois lados de um triângulo e o ângulo entre eles, porém queremos a medida do terceiro lado;
2. quando os três lados de um triângulo são conhecidos, mas queremos a medida de um dos ângulos.

Importante: Um detalhe importante na aplicação da lei dos cossenos é a nomenclatura dos lados. Caso o exercício estudado já apresente um triângulo com os nomes dos vértices e lados definidos, pode ser necessária uma breve adaptação na fórmula. Observe o exemplo a seguir.

• Exemplo:

Considere o triângulo ABC abaixo, com lados b = 12 cm, c = 20 cm e ângulo  = 120°. Qual a medida do lado a?

Resolução:

Aqui, o lado desconhecido é a, e o ângulo oposto a ele é conhecido. Perceba que podemos empregar a lei dos cossenos normalmente com o seguinte ajuste:

$a^2=b^2+c^2–2bc\ cosÂ$

Substituindo os dados na fórmula:

$a^2={12}^2+{20}^2–2⋅12⋅20⋅cos120°$

Como $cos120°=-cos60°=-\frac12$, concluímos que

$a^2=784$

$a=28 cm$

Lei dos cossenos no triângulo retângulo

Nos exemplos anteriores, aplicamos a lei dos cossenos em triângulos acutângulos e obtusângulos, mas é importante ressaltar que a lei dos cossenos também pode ser aplicada em triângulos retângulos. Veja a seguir o que acontece quando o ângulo em questão na lei dos cossenos é reto.

• Exemplo:

Considere um triângulo retângulo ABC com catetos medindo a e b, hipotenusa medindo c e $\hat{C}=90°$.

Resolução:

Aplicando a lei dos cossenos, temos que:

$c^2=a^2+b^2–2ab\cos90°$

Como $cos90°=0$, a expressão se reduz a $c^2=a^2+b^2$, que é o teorema de Pitágoras. Portanto, a lei dos cossenos é uma versão generalizada do teorema de Pitágoras, pois pode ser empregada em qualquer triângulo.

Exercícios resolvidos sobre lei dos cossenos

Questão 1

(Unifor) Um terreno de forma triangular tem frente de 10 m e 20 m, em ruas que formam, entre si, um ângulo de 120°. A medida do terceiro lado do terreno, em metros, é:

A) $10\sqrt5$

B) $10\sqrt6$

C) $10\sqrt7$

D) $26$

E) $20\sqrt2$

Resolução:

Alternativa C

Perceba que são conhecidos dois lados do terreno triangular e o ângulo entre eles, mas buscamos o terceiro lado. Assim, podemos aplicar a lei dos cossenos:

$c^2={10}^2+{20}^2–2.10.20\cos120°$

Como $cos120° = –\frac12$ , concluímos que $c^2=10\sqrt7$.

Questão 2

(UFPR) Calcule o seno do maior ângulo de um triângulo cujos lados medem 4, 6 e 8 metros.

A) $\frac{\sqrt{15}}{4}$

B) $\frac{1}{4}$

C) $\frac{1}{2}$

D) $\frac{\sqrt{10}}{4}$

E) $\frac{\sqrt3}{2}$

Resolução:

Alternativa A

Como 8 é o maior lado do triângulo, o maior ângulo será o ângulo oposto a ele. Assim, aplicando a lei dos cossenos:

$8^2=4^2+6^2–2 ‧ 4 ‧ 6cosC$

Resolvendo essa expressão, concluímos que $\cos{\hat{C}}=-\frac{1}{4}$.

Note que a questão não pede a medida desse ângulo, mas sim seu seno. Utilizando a relação fundamental da Trigonometria, $sen^2\hat{C}+cos^2\hat{C}=1$, obtemos $sen{\hat{C}=\frac{\sqrt{15}}{4}\ }$.

 

Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática