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Conhecemos como equação produto a equação que representa a multiplicação de polinômios igualada a zero. Durante a resolução de problemas que envolvem equações, é bastante comum encontrarmos uma equação produto, ou até mesmo fatorarmos uma equação para que ela se torne uma equação produto devido à maior facilidade de se encontrar as soluções.
Para encontrar as raízes de uma equação produto, utilizamos a propriedade dos números reais que diz que o produto entre dois números só é igual a zero se um desses números for igual a zero. Essa propriedade nos permite analisar cada um dos polinômios de forma separada para encontrar todas as soluções possíveis da equação produto.
Leia também: Quais as diferenças entre equação e função?
Tópicos deste artigo
- 1 - Resumo sobre equação produto
- 2 - O que é a equação produto?
- 3 - Como resolver uma equação produto?
- 4 - Fatoração de polinômios e a equação produto
- 5 - Exercícios resolvidos sobre equação produto
Resumo sobre equação produto
-
Conhecemos como equação produto a equação formada pelo produto de polinômios igualados a zero:
(x + a) (x + b) (x + c) … (x + n) = 0
-
Utilizamos equações produtos para facilitar na resolução de equações polinomiais.
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Para encontrar o conjunto de soluções da equação produto, igualamos cada um dos seus fatores a zero.
O que é a equação produto?
Conhecemos como equação produto uma equação formada pela multiplicação de polinômios igualada a 0. Representamos equações produto pela expressão:
(x + a) (x + b) (x + c) … (x + n) = 0 |
x → incógnita
a, b, c, …, n → números reais
Exemplos:
-
(x + 3) (x – 2) = 0
-
(y + 1) (y + 2) (y – 3) = 0
-
(x² + 2x + 1) (x – 1) = 0
-
y(y² + 2) = 0
Como resolver uma equação produto?
Para resolver uma equação produto, utilizamos a propriedade dos números reais, seja n e m dois números reais, se n · m = 0, então, n = 0 ou m = 0. Por outro lado, podemos dizer também que, se n = 0 ou m = 0, então, o produto m · n = 0. Essa propriedade nos permite analisar cada fator da multiplicação na equação produto separadamente, pois, para que a multiplicação de polinômios seja igual a zero, um desses polinômios tem que ser igual a zero.
Exemplo 1:
(x + 2) (x – 5) = 0
Para que essa equação produto seja igual a zero, existem duas possibilidades:
x + 2 = 0 ou x – 5 = 0
Analisando cada uma das equações, temos que:
x + 2 = 0 → x = -2
x – 5 = 0 → x = 5
O conjunto de soluções da equação é S {-2, 5}.
Exemplo 2:
(y – 3) (y² – 2) = 0
Por mais que o segundo fator seja uma equação do segundo grau, ainda sim conseguimos resolver a equação utilizando a propriedade dos números reais.
Para que a equação seja igual a 0, analisaremos cada um dos seus fatores:
y – 3 = 0 ou y² – 2 = 0
Então, temos que:
y – 3 = 0
y = 3
Ou:
y² – 2 = 0
y² = 2
y = ± √2
As soluções para essa equação são: S{3, √2, -√2}.
Observação: Agora que conhecemos as soluções, podemos, inclusive, reescrever essa equação como a equação produto:
(y – 3) (y – √2) (y + √2) = 0
Exemplo 3:
(x – 3) (x² + 2x – 3) = 0
Note que um dos fatores é uma equação do segundo grau, então, encontraremos as soluções para cada um dos fatores, ou seja:
x – 3 = 0 ou x² + 2x – 3 = 0
Primeiro, temos que:
x – 3 = 0 → x = 3
Agora, para o segundo fator, temos que:
x² + 2x – 3 = 0
a = 1
b = 2
c = -3
Δ = b² – 4ac
Δ = 2² – 4 · 1 · (-3)
Δ = 4 + 12
Δ = 16
Então, o conjunto de soluções da equação é S = {-3, 1, 3}.
Veja também: Passos para solucionar equações biquadradas
Fatoração de polinômios e a equação produto
Durante a resolução de equações polinomiais, quando possível, podemos recorrer à fatoração para transformar a equação em uma equação produto e, então, encontrar o conjunto de soluções.
Exemplo 1:
x² + 10x + 25 = 0
Sabemos que x² + 10x + 25 é um trinômio quadrado perfeito e pode ser fatorado como (x + 5)², então, temos que:
(x + 5)² = 0
(x + 5) (x + 5) = 0
Note que encontramos uma equação produto que é a multiplicação de dois termos iguais, então, há só uma opção para que ela seja igual a 0:
x + 5 = 0 → x = -5
O conjunto de soluções dessa equação é S {-5}.
Exemplo 2:
y² – 9 = 0
Sabemos que y² – 9 é a diferença entre dois quadrados, e pode ser reescrita como (x + 3) (x – 3). Então, temos que:
(x + 3) (x – 3) = 0
Para que esse produto seja 0, há dois casos:
x + 3 = 0 → x = -3
x – 3 = 0 → x = 3
S = {-3, 3}
Exemplo 3:
3x² + 9x = 0
Podemos colocar o x em evidência:
x(3x + 9) = 0
Para que essa equação produto seja verdadeira, temos que:
x = 0 ou 3x + 9 = 0
Como x = 0, então, sabemos que 0 já é uma solução, agora, veremos a segunda equação:
3x + 9 = 0
3x = -9
3x = -9 : 3
x = -3
Dessa forma, as soluções são S {-3, 0}.
Exercícios resolvidos sobre equação produto
Questão 1 - A soma das soluções da equação (2x + 4) (x – 3) x² = 0 é:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Resolução
Alternativa A
Queremos saber quais são as soluções da equação (2x + 4) (x – 3) x² = 0. Como ela é uma equação produto, então, sabemos que a multiplicação será 0 se um dos seus fatores for igual a 0, logo, basta analisar cada um dos fatores:
2x + 4 = 0 ou x – 3 = 0 ou x² = 0
Resolvendo cada uma dessas equações, temos que:
Primeiro, encontraremos a solução da equação 2x + 4 = 0:
2x + 4 = 0
2x = -4
2x = -4 : 2
x = -2
Agora, a solução da equação x – 3 = 0:
x – 3 = 0
x = 3
Por fim, a solução da equação x² = 0:
x² = 0
x = 0
Então, a soma das soluções:
-2 + 3 + 0 = 1
Questão 2 - Qual a quantidade de soluções que a equação x(x – a) (x – b) (x² – c²) = 0 possui, sabendo que |a| ≠ |b| ≠ |c| e que a, b, c são números reais não nulos?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Resolução
Alternativa E
Para que essa equação seja igual a 0, um dos seus fatores deve ser igual a 0, então, temos que:
x = 0
(x – a) = 0 → x = a
(x – b) = 0 → x = -b
(x² – c²) = 0 → podemos fatorar como o produto da soma pela diferença:
x² – c² = (x + c) (x – c) = 0
x + c = 0 → x = -c
x – c = 0 → x = c
Então, as soluções possíveis são {0, a, -b, -c, c}. Como sabemos que eles são todos números distintos, então, há cinco soluções distintas possíveis.