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Equação exponencial

Equação exponencial é a equação que apresenta a incógnita no expoente. Para resolver esse tipo de equação, aplicamos as propriedades de potenciação.

Formato simples de uma equação exponencial.
Representação de uma equação exponencial.
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Equação exponencial é um tipo de equação (sentença matemática que possui incógnitas e uma igualdade) em que a incógnita se encontra no expoente de um ou mais termos. O formato mais simples de uma equação exponencial é \(a^x=b\). Em muitos casos, é necessário empregar as propriedades de potenciação para resolver uma equação exponencial.

Leia também: Equação produto — a equação que representa a multiplicação de polinômios igualada a zero

Tópicos deste artigo

Resumo sobre equação exponencial

  • Toda equação em que a incógnita aparece no expoente é chamada de equação exponencial.

  • Uma das formas de uma equação exponencial é

\(a^x=b\)

  • Muitas vezes, as propriedades de potenciação são empregadas para resolver uma equação exponencial.

  • As principais propriedades da potenciação são:

    • multiplicação de potências de mesma base: \(a^m⋅a^n=a^{m+n}\)

    • divisão de potências de mesma base: \(\frac{a^m}{a^n} =a^{m-n}\)

    • potência de potência: \((a^m )^n=a^{m⋅n}\)

    • potência do produto: \( (a⋅b)^m=a^m⋅b^m\)

    • potência do quociente:  \((\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m} \)

  • Existem duas formas de resolver equações exponenciais: reduzir à base comum e utilizar a definição de logaritmo.

  • Na redução à base comum, para \(a>0\) e \(a ≠1\), tem-se que

\(a^x=a^y⇔x=y\)

  • Na definição do logaritmo, se \(a>0 \) e \(a ≠1\), temos que

\(a^x=b⇔log_a⁡b=x\)

Videoaula sobre equação exponencial


O que é a equação exponencial?

Equações são expressões algébricas (expressões matemáticas que contêm números e letras) que apresentam pelo menos um valor desconhecido, chamado de incógnita e representado geralmente por uma letra. Nesse sentido, equação exponencial é a equação em que a incógnita aparece no expoente de um ou mais termos da expressão. Veja os exemplos:

\(2^x=8\)

\(\frac{1^x}{6}=36\)

\((\sqrt7)^x=343\)

\(4^{x-2}=16^{x+1} \)

Resolver uma equação significa encontrar o valor da incógnita que torna a igualdade verdadeira, ou seja, que satisfaz a equação. No caso de uma equação exponencial, em que a incógnita está presente no expoente, é fundamental conhecer as propriedades de potenciação para encontrar a solução.

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Propriedades da potenciação

Antes de verificar as propriedades da potenciação, fundamentais à resolução de uma equação exponencial, precisamos entender duas notações importantes, as quais veremos a seguir.

  • Expoente negativo:

Uma potência com expoente negativo é igual a outra potência cuja base é o inverso multiplicativo da primeira e o expoente é o oposto do primeiro. Formalmente, considerando que x é positivo, temos que

\(a^{-x}=(\frac{1}{a})^x\)

Exemplos:

\(3^{-2}=(\frac{1}{3})^2\)

\((\frac{5}{9})^{-4}=(\frac{9}{5})^4\)

  • Expoente fracionário:

Uma potência de base a com expoente fracionário \(\frac{m}n\) é igual a uma raiz com índice n e radicando \(a^m\). Formalmente, temos que

\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)

Exemplos:

\(5 ^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{5^2}\)

\(8 ^{\frac{1}{2}}=\sqrt8\)

Partindo disso, vejamos a seguir as principais propriedades da potenciação.

→ Propriedade 1 da potenciação: multiplicação de potências de mesma base

\(a^m⋅a^n=a^{m+n}\)

Exemplo:

\(2^3⋅2^4=8⋅16=128\)

\(2^{3+4}=2^7=128\)

→ Propriedade 2 da potenciação: divisão de potências de mesma base

\(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)

Exemplo:

\(\frac{5^4}{5^2}=\frac{625}{25}=25\)

\(5^{4-2}=5^2=25\)

→ Propriedade 3 da potenciação: potência de potência

\((a^m )^n=a^{m⋅n}\)

Exemplo:

\((3^2 )^4=9^4=6561\)

\(3^{2⋅4}=3^8=6561\)

Importante: A expressão \((a^m )^n\) não é igual a \(a^{m^n}\). Na expressão \((a^m )^n\), o elemento n é expoente da base \(a^m\). Já na expressão \(a^{m^n}\), o elemento n é expoente da base m. Considere o exemplo abaixo com \(a=6\), \(m=3\) e \(n = 2\) e note que os resultados são diferentes.

\((2^3 )^2=8^2=64\)

\(2^{3^2}=2^9=512\)

→ Propriedade 4 da potenciação: potência do produto

\((a⋅b)^m=a^m⋅b^m\)

Exemplo:

\((4⋅8)^2=32^2=1024\)

\(4^2⋅8^2=16⋅64=1024\)

→ Propriedade 5 da potenciação: potência do quociente

\((\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m} \)

Exemplo:

\((\frac{6}{5})^2=1,2^2=1,44\)

\(\frac{6^2}{5^2} =\frac{36}{25}=1,44\)

Como resolver a equação exponencial?

Para resolver uma equação exponencial de forma algébrica (ou seja, manipulando os termos da expressão), há duas estratégias essenciais: reduzir à base comum e utilizar a definição de logaritmo.

→ Redução à base comum

Nesse tipo de resolução vamos considerar equações exponenciais que podem ser escritas como uma igualdade entre potências de mesma base. Se \(a>0\) e \(a ≠1\), temos a seguinte relação:

\(a^x=a^y⇔x=y\)

Isso significa que se os dois lados da igualdade possuem a mesma base, então os expoentes são iguais. Esse resultado decorre do estudo das funções exponenciais \(f(x)=a^x\), que são injetoras.

Exemplo 1:

Qual a raiz da equação \(\frac{1}6^x=36\)?

Resolução:

\(\frac{1}6^x=36\)

\((6^{-1})^x=6^2\)

\(6^{-x}=6^2\)

Como a base é positiva e diferente de 1, temos que

\(-x = 2\)

\(x = -2\)

O conjunto solução é \(S=\{-2\}\).

Exemplo 2:

Qual a raiz da equação \(4^{x-2}=16^{x+1}\)?

Resolução:

\(4^{x-2}=16^{x+1}\)

\(4^{x-2}=(4^2 )^{x+1}\)

\(4^{x-2}=4^{2x+2}\)

Como a base é positiva e diferente de 1, temos que

\(x-2 = 2x+2\)

\(x = -4\)

O conjunto solução é \(S=\{-4\}\).

→ Definição de logaritmo

Considere a equação exponencial \(10^x=3\). Observe que nesse caso não é possível escrever os dois lados da igualdade como potências de mesma base. No entanto, a definição de logaritmo permite explicitar uma solução. Se \(a>0\) e \(a ≠1\), temos que

\(a^x=b⇔log_a\ ⁡b=x\)

Portanto, temos que

\(10^x=3⇔log_{10}\ ⁡3=x\)

Consultando uma tabela de logaritmos ou utilizando a calculadora, obtemos a solução \(x ≈0,477\).

Exemplo:

Qual a solução com duas casas decimais da equação \(3⋅2^x=27\)?

\(3⋅2^x=27\)

\(2^x=\frac{27}3\)

\(2^x=9\)

Como a base é positiva e diferente de 1, temos que

\(2^x=9⇔log_2\ ⁡9=x\)

Consultando uma tabela de logaritmos ou utilizando a calculadora, obtemos a solução \(x ≈3,17\).

Veja também: O que é uma função exponencial?

Exercícios resolvidos sobre equação exponencial

Questão 1

(PUC) A soma das soluções reais da equação \(10^{x^2-9}=\frac{1}{1000}\) é

A) \(\sqrt{6}\)

B) \(-\sqrt{6}\)

C) 0

D) 1

E) 2

Resolução

Alternativa C.

Observe que podemos escrever a equação exponencial como uma igualdade de potências de mesma base:

\(10^{x^2-9}=\frac{1}{1000}\)

\(10^{x^2-9}=10^{-3}\)

Como a base é positiva e diferente de 1, temos que

\(x^2-9=-3\)

\(x^2=6\)

Assim, as soluções reais são \( x_1=-\sqrt3\) e \(x_2=\sqrt3\). Logo, \(x_1+x_2=0\).

Questão 2

(PUC) Quanto vale a soma de todas as soluções reais da equação abaixo?

\((5^x )^2-26⋅5^x+25=0\)

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

Resolução:

Alternativa C.

Considere \(5^x=y\). Assim, podemos reescrever a equação como

\(y^2-26⋅5^x+25=0\)

Note que \(y_1=1\) e \(y_2=25\) são soluções para essa equação do segundo grau. Substituindo \(y_1\) e \(y_2\) na expressão \(5^x=y\), temos que

\(5^{x_1}=1⇒x_1=0\)

\(5^{x_2}=25⇒x_1=2\)

Logo, \(x_1+x_2=2\).

 

Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática

Escritor do artigo
Escrito por: Maria Luiza Alves Rizzo Autora, Leitora Crítica e Revisora de Matemática apaixonada por escrever. Especialista pela UFPI (2023) e Licenciada pela UFSM (2022), trabalha em projetos editoriais para o Ensino Fundamental, Ensino Médio e Pré-vestibular.

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

RIZZO, Maria Luiza Alves. "Equação exponencial"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-exponencial.htm. Acesso em 13 de julho de 2024.

De estudante para estudante


Videoaulas


Lista de exercícios


Exercício 1

O valor de x que satisfaz a equação \(3^{x+1}=81\) é:

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Exercício 2

Analise as equações representadas a seguir:

I. \(3x+4=x^3\)

II. \(x^2+2x+1=0\)

III. \(2^x+1=5\)

Analisando as equações, podemos classificar como equação exponencial:

A) somente a equação I.

B) somente a equação II.

C) somente a equação III.

D) somente as equações I e III.

E) as equações I, II e III.