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Equação exponencial é um tipo de equação (sentença matemática que possui incógnitas e uma igualdade) em que a incógnita se encontra no expoente de um ou mais termos. O formato mais simples de uma equação exponencial é ax=b. Em muitos casos, é necessário empregar as propriedades de potenciação para resolver uma equação exponencial.
Leia também: Equação produto — a equação que representa a multiplicação de polinômios igualada a zero
Tópicos deste artigo
- 1 - Resumo sobre equação exponencial
- 2 - Videoaula sobre equação exponencial
- 3 - O que é a equação exponencial?
- 4 - Propriedades da potenciação
- 5 - Como resolver a equação exponencial?
- 6 - Exercícios resolvidos sobre equação exponencial
Resumo sobre equação exponencial
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Toda equação em que a incógnita aparece no expoente é chamada de equação exponencial.
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Uma das formas de uma equação exponencial é
ax=b
-
Muitas vezes, as propriedades de potenciação são empregadas para resolver uma equação exponencial.
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As principais propriedades da potenciação são:
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multiplicação de potências de mesma base: am⋅an=am+n
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divisão de potências de mesma base: aman=am−n
-
potência de potência: (am)n=am⋅n
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potência do produto: (a⋅b)m=am⋅bm
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potência do quociente: (ab)m=ambm
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Existem duas formas de resolver equações exponenciais: reduzir à base comum e utilizar a definição de logaritmo.
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Na redução à base comum, para a>0 e a≠1, tem-se que
ax=ay⇔x=y
-
Na definição do logaritmo, se a>0 e a≠1, temos que
ax=b⇔logab=x
Videoaula sobre equação exponencial
O que é a equação exponencial?
Equações são expressões algébricas (expressões matemáticas que contêm números e letras) que apresentam pelo menos um valor desconhecido, chamado de incógnita e representado geralmente por uma letra. Nesse sentido, equação exponencial é a equação em que a incógnita aparece no expoente de um ou mais termos da expressão. Veja os exemplos:
2x=8
1x6=36
(√7)x=343
4x−2=16x+1
Resolver uma equação significa encontrar o valor da incógnita que torna a igualdade verdadeira, ou seja, que satisfaz a equação. No caso de uma equação exponencial, em que a incógnita está presente no expoente, é fundamental conhecer as propriedades de potenciação para encontrar a solução.
Propriedades da potenciação
Antes de verificar as propriedades da potenciação, fundamentais à resolução de uma equação exponencial, precisamos entender duas notações importantes, as quais veremos a seguir.
-
Expoente negativo:
Uma potência com expoente negativo é igual a outra potência cuja base é o inverso multiplicativo da primeira e o expoente é o oposto do primeiro. Formalmente, considerando que x é positivo, temos que
a−x=(1a)x
Exemplos:
3−2=(13)2
(59)−4=(95)4
-
Expoente fracionário:
Uma potência de base a com expoente fracionário mn é igual a uma raiz com índice n e radicando am. Formalmente, temos que
amn=n√am
Exemplos:
523=3√52
812=√8
Partindo disso, vejamos a seguir as principais propriedades da potenciação.
→ Propriedade 1 da potenciação: multiplicação de potências de mesma base
am⋅an=am+n
Exemplo:
23⋅24=8⋅16=128
23+4=27=128
→ Propriedade 2 da potenciação: divisão de potências de mesma base
aman=am−n
Exemplo:
5452=62525=25
54−2=52=25
→ Propriedade 3 da potenciação: potência de potência
(am)n=am⋅n
Exemplo:
(32)4=94=6561
32⋅4=38=6561
Importante: A expressão (am)n não é igual a amn. Na expressão (am)n, o elemento n é expoente da base am. Já na expressão amn, o elemento n é expoente da base m. Considere o exemplo abaixo com a=6, m=3 e n=2 e note que os resultados são diferentes.
(23)2=82=64
232=29=512
→ Propriedade 4 da potenciação: potência do produto
(a⋅b)m=am⋅bm
Exemplo:
(4⋅8)2=322=1024
42⋅82=16⋅64=1024
→ Propriedade 5 da potenciação: potência do quociente
(ab)m=ambm
Exemplo:
(65)2=1,22=1,44
6252=3625=1,44
Como resolver a equação exponencial?
Para resolver uma equação exponencial de forma algébrica (ou seja, manipulando os termos da expressão), há duas estratégias essenciais: reduzir à base comum e utilizar a definição de logaritmo.
→ Redução à base comum
Nesse tipo de resolução vamos considerar equações exponenciais que podem ser escritas como uma igualdade entre potências de mesma base. Se a>0 e a≠1, temos a seguinte relação:
ax=ay⇔x=y
Isso significa que se os dois lados da igualdade possuem a mesma base, então os expoentes são iguais. Esse resultado decorre do estudo das funções exponenciais f(x)=ax, que são injetoras.
Exemplo 1:
Qual a raiz da equação 16x=36?
Resolução:
16x=36
(6−1)x=62
6−x=62
Como a base é positiva e diferente de 1, temos que
−x=2
x=−2
O conjunto solução é S={−2}.
Exemplo 2:
Qual a raiz da equação 4x−2=16x+1?
Resolução:
4x−2=16x+1
4x−2=(42)x+1
4x−2=42x+2
Como a base é positiva e diferente de 1, temos que
x−2=2x+2
x=−4
O conjunto solução é S={−4}.
→ Definição de logaritmo
Considere a equação exponencial 10x=3. Observe que nesse caso não é possível escrever os dois lados da igualdade como potências de mesma base. No entanto, a definição de logaritmo permite explicitar uma solução. Se a>0 e a≠1, temos que
ax=b⇔loga b=x
Portanto, temos que
10x=3⇔log10 3=x
Consultando uma tabela de logaritmos ou utilizando a calculadora, obtemos a solução x≈0,477.
Exemplo:
Qual a solução com duas casas decimais da equação 3⋅2x=27?
3⋅2x=27
2x=273
2x=9
Como a base é positiva e diferente de 1, temos que
2x=9⇔log2 9=x
Consultando uma tabela de logaritmos ou utilizando a calculadora, obtemos a solução x≈3,17.
Veja também: O que é uma função exponencial?
Exercícios resolvidos sobre equação exponencial
Questão 1
(PUC) A soma das soluções reais da equação 10x2−9=11000 é
A) √6
B) −√6
C) 0
D) 1
E) 2
Resolução
Alternativa C.
Observe que podemos escrever a equação exponencial como uma igualdade de potências de mesma base:
10x2−9=11000
10x2−9=10−3
Como a base é positiva e diferente de 1, temos que
x2−9=−3
x2=6
Assim, as soluções reais são x1=−√3 e x2=√3. Logo, x1+x2=0.
Questão 2
(PUC) Quanto vale a soma de todas as soluções reais da equação abaixo?
(5x)2−26⋅5x+25=0
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Resolução:
Alternativa C.
Considere 5x=y. Assim, podemos reescrever a equação como
y2−26⋅5x+25=0
Note que y1=1 e y2=25 são soluções para essa equação do segundo grau. Substituindo y1 e y2 na expressão 5x=y, temos que
5x1=1⇒x1=0
5x2=25⇒x1=2
Logo, x1+x2=2.
Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática