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Equação exponencial

Equação exponencial é a equação que apresenta a incógnita no expoente. Para resolver esse tipo de equação, aplicamos as propriedades de potenciação.

Formato simples de uma equação exponencial.
Representação de uma equação exponencial.
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Equação exponencial é um tipo de equação (sentença matemática que possui incógnitas e uma igualdade) em que a incógnita se encontra no expoente de um ou mais termos. O formato mais simples de uma equação exponencial é ax=b. Em muitos casos, é necessário empregar as propriedades de potenciação para resolver uma equação exponencial.

Leia também: Equação produto — a equação que representa a multiplicação de polinômios igualada a zero

Tópicos deste artigo

Resumo sobre equação exponencial

  • Toda equação em que a incógnita aparece no expoente é chamada de equação exponencial.

  • Uma das formas de uma equação exponencial é

ax=b

  • Muitas vezes, as propriedades de potenciação são empregadas para resolver uma equação exponencial.

  • As principais propriedades da potenciação são:

    • multiplicação de potências de mesma base: aman=am+n

    • divisão de potências de mesma base: aman=amn

    • potência de potência: (am)n=amn

    • potência do produto: (ab)m=ambm

    • potência do quociente:  (ab)m=ambm

  • Existem duas formas de resolver equações exponenciais: reduzir à base comum e utilizar a definição de logaritmo.

  • Na redução à base comum, para a>0 e a1, tem-se que

ax=ayx=y

  • Na definição do logaritmo, se a>0 e a1, temos que

ax=blogab=x

Videoaula sobre equação exponencial


O que é a equação exponencial?

Equações são expressões algébricas (expressões matemáticas que contêm números e letras) que apresentam pelo menos um valor desconhecido, chamado de incógnita e representado geralmente por uma letra. Nesse sentido, equação exponencial é a equação em que a incógnita aparece no expoente de um ou mais termos da expressão. Veja os exemplos:

2x=8

1x6=36

(7)x=343

4x2=16x+1

Resolver uma equação significa encontrar o valor da incógnita que torna a igualdade verdadeira, ou seja, que satisfaz a equação. No caso de uma equação exponencial, em que a incógnita está presente no expoente, é fundamental conhecer as propriedades de potenciação para encontrar a solução.

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Propriedades da potenciação

Antes de verificar as propriedades da potenciação, fundamentais à resolução de uma equação exponencial, precisamos entender duas notações importantes, as quais veremos a seguir.

  • Expoente negativo:

Uma potência com expoente negativo é igual a outra potência cuja base é o inverso multiplicativo da primeira e o expoente é o oposto do primeiro. Formalmente, considerando que x é positivo, temos que

ax=(1a)x

Exemplos:

32=(13)2

(59)4=(95)4

  • Expoente fracionário:

Uma potência de base a com expoente fracionário mn é igual a uma raiz com índice n e radicando am. Formalmente, temos que

amn=nam

Exemplos:

523=352

812=8

Partindo disso, vejamos a seguir as principais propriedades da potenciação.

→ Propriedade 1 da potenciação: multiplicação de potências de mesma base

aman=am+n

Exemplo:

2324=816=128

23+4=27=128

→ Propriedade 2 da potenciação: divisão de potências de mesma base

aman=amn

Exemplo:

5452=62525=25

542=52=25

→ Propriedade 3 da potenciação: potência de potência

(am)n=amn

Exemplo:

(32)4=94=6561

324=38=6561

Importante: A expressão (am)n não é igual a amn. Na expressão (am)n, o elemento n é expoente da base am. Já na expressão amn, o elemento n é expoente da base m. Considere o exemplo abaixo com a=6, m=3 e n=2 e note que os resultados são diferentes.

(23)2=82=64

232=29=512

→ Propriedade 4 da potenciação: potência do produto

(ab)m=ambm

Exemplo:

(48)2=322=1024

4282=1664=1024

→ Propriedade 5 da potenciação: potência do quociente

(ab)m=ambm

Exemplo:

(65)2=1,22=1,44

6252=3625=1,44

Como resolver a equação exponencial?

Para resolver uma equação exponencial de forma algébrica (ou seja, manipulando os termos da expressão), há duas estratégias essenciais: reduzir à base comum e utilizar a definição de logaritmo.

→ Redução à base comum

Nesse tipo de resolução vamos considerar equações exponenciais que podem ser escritas como uma igualdade entre potências de mesma base. Se a>0 e a1, temos a seguinte relação:

ax=ayx=y

Isso significa que se os dois lados da igualdade possuem a mesma base, então os expoentes são iguais. Esse resultado decorre do estudo das funções exponenciais f(x)=ax, que são injetoras.

Exemplo 1:

Qual a raiz da equação 16x=36?

Resolução:

16x=36

(61)x=62

6x=62

Como a base é positiva e diferente de 1, temos que

x=2

x=2

O conjunto solução é S={2}.

Exemplo 2:

Qual a raiz da equação 4x2=16x+1?

Resolução:

4x2=16x+1

4x2=(42)x+1

4x2=42x+2

Como a base é positiva e diferente de 1, temos que

x2=2x+2

x=4

O conjunto solução é S={4}.

→ Definição de logaritmo

Considere a equação exponencial 10x=3. Observe que nesse caso não é possível escrever os dois lados da igualdade como potências de mesma base. No entanto, a definição de logaritmo permite explicitar uma solução. Se a>0 e a1, temos que

ax=bloga b=x

Portanto, temos que

10x=3log10 3=x

Consultando uma tabela de logaritmos ou utilizando a calculadora, obtemos a solução x0,477.

Exemplo:

Qual a solução com duas casas decimais da equação 32x=27?

32x=27

2x=273

2x=9

Como a base é positiva e diferente de 1, temos que

2x=9log2 9=x

Consultando uma tabela de logaritmos ou utilizando a calculadora, obtemos a solução x3,17.

Veja também: O que é uma função exponencial?

Exercícios resolvidos sobre equação exponencial

Questão 1

(PUC) A soma das soluções reais da equação 10x29=11000 é

A) 6

B) 6

C) 0

D) 1

E) 2

Resolução

Alternativa C.

Observe que podemos escrever a equação exponencial como uma igualdade de potências de mesma base:

10x29=11000

10x29=103

Como a base é positiva e diferente de 1, temos que

x29=3

x2=6

Assim, as soluções reais são x1=3 e x2=3. Logo, x1+x2=0.

Questão 2

(PUC) Quanto vale a soma de todas as soluções reais da equação abaixo?

(5x)2265x+25=0

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

Resolução:

Alternativa C.

Considere 5x=y. Assim, podemos reescrever a equação como

y2265x+25=0

Note que y1=1 e y2=25 são soluções para essa equação do segundo grau. Substituindo y1 e y2 na expressão 5x=y, temos que

5x1=1x1=0

5x2=25x1=2

Logo, x1+x2=2.

 

Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática

Escritor do artigo
Escrito por: Maria Luiza Alves Rizzo Autora, Leitora Crítica e Revisora de Matemática apaixonada por escrever. Especialista pela UFPI (2023) e Licenciada pela UFSM (2022), trabalha em projetos editoriais para o Ensino Fundamental, Ensino Médio e Pré-vestibular.

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

RIZZO, Maria Luiza Alves. "Equação exponencial"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-exponencial.htm. Acesso em 25 de fevereiro de 2025.

De estudante para estudante


Videoaulas


Lista de exercícios


Exercício 1

O valor de x que satisfaz a equação 3x+1=81 é:

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Exercício 2

Analise as equações representadas a seguir:

I. 3x+4=x3

II. x2+2x+1=0

III. 2x+1=5

Analisando as equações, podemos classificar como equação exponencial:

A) somente a equação I.

B) somente a equação II.

C) somente a equação III.

D) somente as equações I e III.

E) as equações I, II e III.