close
Whatsapp icon Whatsapp
Copy icon

Polinômios

Polinômio é uma expressão algébrica formada por monômios. Utilizamos polinômios para descrever variáveis e realizar operações algébricas.

Imprimir
Texto:
A+
A-

PUBLICIDADE

Conhecemos como polinômio uma expressão que indica a soma algébrica de monômios que não sejam semelhantes, ou seja, polinômio é uma expressão algébrica entre monômios. Monômio é um termo algébrico que possui coeficiente e parte literal.

Quando existem termos semelhantes entre os polinômios, é possível realizar-se a redução de seus termos na adição e ou subtração de dois polinômios. É possível também multiplicar dois polinômios por meio da propriedade distributiva. Já a divisão é realizada pelo método de chaves.

Leia também: Equação polinomial – equação caracterizada por ter um polinômio igual a 0

Polinômios são expressões algébricas com monômios separados por adição ou subtração.
Polinômios são expressões algébricas com monômios separados por adição ou subtração.

Tópicos deste artigo

O que são monômios?

Para compreender-se o que é um polinômio, é importante que se compreenda antes o significado de um monômio. Uma expressão algébrica é conhecida como monômio quando ela possui números e letras e seus expoentes separados apenas por multiplicação. O número é conhecido como coeficiente, e as letras e seus expoentes são conhecidos como parte literal.

Exemplos:

  • 2x² → 2 é o coeficiente; x² é a parte literal.

  • √5ax → √5 é o coeficiente; ax é a parte literal.

  • b³yz² → 1 é o coeficiente; b³yz² é a parte literal.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

O que é um polinômio?

Um polinômio nada mais é que a soma algébrica de monômios, ou seja, são mais monômios separados por adição ou subtração entre si.

Exemplos:

  • ax² + by + 3

  • 5c³d – 4ab + 3c²

  • -2ab + b – 3xa

De forma geral, um polinômio pode ter vários termos, ele é representado algebricamente por:

anxn + a(n-1) x(n-1) + … + a2x² + a1x + a

Veja também: Quais são as classes de polinômios?

Grau de um polinômio

Para encontrar o grau do polinômio, vamos separar em dois casos, quando ele possui uma única variável e quando ele possui mais variáveis. O grau do polinômio é dado pelo grau do maior de seus monômios nos dois casos.

É bastante comum o trabalho com o polinômio que possui somente uma variável. Quando isso ocorre, o monômio de maior grau que indica o grau do polinômio é igual ao maior expoente da variável:

Exemplos:

Polinômios de única variável

a) 2x² – 3x³ + 5x – 4 → note que a variável é x, e o maior expoente que ela tem é 3, então, esse é um polinômio de grau 3.

b) 2y5 + 4y² – 2y + 8 → a variável é y, e o maior expoente é 5, então, esse é um polinômio de grau 5.

Quando o polinômio possui mais de uma variável em um monômio, para encontrar-se o grau desse termo, é necessário somar-se o grau os expoentes de cada uma das variáveis. Sendo assim, o grau do polinômio, nesse caso, continua sendo igual ao grau do maior monômio, mas é necessário ter-se o cuidado de realizar a soma dos expoentes das variáveis de cada monômio.

Exemplos:

a) 2xy + 4x²y³ – 5y4

Analisando a parte literal de cada termo, temos que:

xy → grau 2 (1 + 1)

x²y³ → grau 5 (2 + 3)

y³ → grau 3

Note que o maior termo tem grau 5, então esse é um polinômio de grau 5.

b) 8a²b – ab + 2a²b²

Analisando-se a parte literal de cada monômio:

a²b → grau 3 (2 + 1)

ab² → grau 2 (1 + 1)

a²b² → grau 4 (2 + 2)

Dessa forma, o polinômio possui grau 4.

Adição de polinômios

Para a adição entre dois polinômios, vamos realizar a redução dos monômios semelhantes. Dois monômios são semelhantes se eles possuem partes literais iguais. Quando isso acontece, é possível simplificar o polinômio.

Exemplo:

Seja P(x) = 2x² + 4x + 3 e Q(x) = 4x² – 2x + 4. Calcule o valor de P(x) + Q(x).

2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4

Encontrando termos semelhantes (que possuem partes literais iguais):

2x² + 4x + 3 + 4x²2x + 4

Agora vamos somar os monômios semelhantes:

(2+4)x² + (4-2)x + 3 + 4

6x² + 2x +7

Subtração de polinômios

A subtração não é muito diferente da adição. O detalhe importante é que primeiro precisamos escrever o polinômio oposto antes de realizarmos a simplificação dos termos semelhantes.

Exemplo:

Dados: P(x) = 2x² + 4x + 3 e Q(x) = 4x² – 2x + 4. Calcule P(x) – Q(x).

O polinômio -Q(x) é o oposto de Q(x), para encontrar o oposto de Q(x), basta inverter o sinal de cada um dos seus termos, então temos que:

-Q(x) = -4x² +2x – 4

Então calcularemos:

P(x) + (-Q(x))

2x² + 4x + 3 – 4x² + 2x – 4

Simplificando os termos semelhantes, temos:

(2 – 4)x² + (4 + 2)x + (3 – 4)

-2x² + 6x + (-1)

-2x² + 6x – 1

Multiplicação de polinômios

Para realizar a multiplicação de dois polinômios, utilizamos a conhecida propriedade distributiva entre os dois polinômios, operando a multiplicação dos monômios do primeiro polinômio pelos do segundo.

Exemplo:

Seja P(x) = 2a² + b e Q(x) = a³ + 3ab + 4b². Calcule P(x) · Q(x).

P(x) · Q(x)

(2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²)

Aplicando a propriedade distributiva, teremos:

2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b²

2a5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² +4b³

Agora, caso existam, podemos simplificar os termos semelhantes:

2a5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² + 4b³

Note que os únicos monômios semelhantes estão destacados em laranja, realizando a simplificação entre eles, teremos o seguinte polinômio como resposta:

2a5 + (6+1)a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³

2a5 + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³

Acesse também: Como fazer a multiplicação de fração algébrica?

Divisão de polinômios

Realizar a divisão de polinômios pode ser bastante trabalhoso, utilizamos o que se chama de método de chaves, mas existem vários métodos para tanto. A divisão de dois polinômios só é possível se o grau do divisor for menor. Ao dividir o polinômio P(x) pelo polinômio D(x), estamos buscando um polinômio Q(x), tal que:

Assim, pelo algoritmo da divisão, temos que: P(x) = D(x) · Q(x) + R(x).

P(x) → dividendo

D(x) → divisor

Q(x) → quociente

R(x) → resto

Ao operar-se a divisão, o polinômio P(x) é divisível pelo polinômio D(x) se o resto for zero.

Exemplo:

Vamos operar a divisão do polinômio P(x) = 15x² +11x + 2 pelo polinômio D(x) = 3x + 1.

Queremos dividir:

(15x² + 11x + 2) : (3x + 1)

1 º passo: dividimos o primeiro monômio do dividendo com o primeiro do divisor:

15x² : 3x = 5x

2º passo: multiplicamos 5x · (3x+1) = 15x² + 5x, e subtraímos o resultado de P(x). Para realizar a subtração, é necessário invertermos os sinais do resultado da multiplicação, encontrando o polinômio:

3º passo: realizamos a divisão do primeiro termo do resultado da subtração pelo primeiro termo do divisor:

6x : 3x = 2

4º passo: então, temos que (15x² + 11x + 2) : (3x + 1) = 5x + 2.

Sendo assim, temos que:

Q(x) = 5x + 2

R(x) = 0

Leia também: Dispositivo prático de Briot-Ruffini – divisão de polinômios

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Qual deve ser o valor de m, para que o polinômio P(x) = (m² – 9)x³ + (m + 3)x² + 5x + m tenha grau 2?

A) 3

B) -3

C) ±3

D) 9

E) -9

Resolução

Alternativa A

Para que P(x) tenha grau 2, o coeficiente de x³ tem que ser igual a zero, e o coeficiente de x² tem que ser diferente de zero.

Então faremos:

m² – 9 = 0

m² = 9

m = ±√9

m = ±3

Por outro lado, temos que m + 3 ≠ 0.

Então, m ≠ -3.

Dessa forma, temos como solução da primeira equação que m = 3 ou m= -3, porém, pela segunda, temos que m ≠ -3, então, a única solução que faz com que P(x) tenha grau 2 é: m = 3.

Questão 2 – (IFMA 2017) O perímetro da figura pode ser escrito pelo polinômio:

A) 8x + 5

B) 8x + 3

C) 12 + 5

D) 12x + 10

E) 12x + 8

Resolução

Alternativa D

Pela imagem, ao analisarmos o comprimento e a largura dados, sabemos que o perímetro é a soma de todos os lados. Como o comprimento e a altura são os mesmos, basta multiplicarmos a soma dos polinômios dados por 2.

2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 · (6x + 5) = 12x + 10

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Polinômios"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/polinomios.htm. Acesso em 18 de maio de 2022.

Videoaulas


Lista de exercícios


Exercício 1

(Enem) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a primeira lavagem mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y).

Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por:

A) 2xy

B) 15 − 3x

C) 15 − 5y

D) -5y − 3x

E) 5y + 3x − xy

Exercício 2

Dados os polinômios p(x) = 2x³ + 3x² + 1 e q(x) = 3x² + 5x – 15, a soma p(-2) + q(2) é igual a:

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Artigos Polinômios


A adição e subtração de polinômios envolve técnicas de redução de termos semelhantes
Matemática

Adição e Subtração de Polinômios

Redução de Polinômios.

Matemática

Adição, Subtração e Multiplicação de Polinômios

Operações de adição, subtração e multiplicação entre monômios e polinômios.

Você sabe que existem quatro classes para polinômios?
Matemática

Classes de polinômios

Já ouviu falar em classes de polinômios? Acesse e descubra quais são elas!

Matemática

Demonstrações através do cálculo algébrico

expressão algébrica, polinômio, Demonstrações através do cálculo algébrico, demonstração, cálculo algébrico, número inteiro, número par, número ímpar, números consecutivos.

Matemática

Dispositivo prático de Briot-Ruffini

Veja aqui o que é o dispositivo prático de Briot-Ruffini e entenda na prática como utilizá-lo.

Matemática

Divisão de polinômio por polinômio

Saiba como efetuar a divisão de polinômio por polinômio. Clique aqui e descubra!

Matemática

Divisão de polinômios

Veja os principais métodos de divisão de polinômios por monômios e binômios. Saiba como utilizar o dispositivo prático de Briot-Ruffini para realizar a divisão.

Matemática

Equação polinomial

Saiba o que é uma equação polinomial e aprenda a resolvê-la. Veja também o teorema fundamental da aritmética, e observe os exemplos com aplicações.

Fórmula do teorema binomial.
Matemática

Fatoração de polinômios

Conheça os casos de fatoração de polinômio e os métodos utilizados para sua realização. Saiba como usar a fatoração de polinômios para simplificar expressões.

Matemática

Mínimo Múltiplo Comum de Polinômios

Determinando o mmc entre polinômios.

Fórmula de Bhaskara: uma das frações algébricas mais conhecidas
Matemática

Multiplicação de fração algébrica

Aprenda a realizar multiplicação de fração algébrica e as operações necessárias para simplificar seus resultados.

Matemática

Multiplicidade de uma raiz

Resolução de equações polinomiais

Matemática

Polinômio

Aprenda a definição de equação polinomial, definir uma função polinomial, o valor numérico de um polinômio, a raiz ou zero do polinômio, Grau de um polinômio.

O polinômio unitário é dado pelo maior grau dos monômios que formam o polinômio
Matemática

Polinômio unitário

Clique aqui e descubra o que é um polinômio unitário e como identificá-lo.

A expressão algébrica é polinomial porque possui soma algébrica. Para esse tipo de expressão é necessário realizar a redução polinomial
Matemática

Redução de polinômio

Aprenda a reunir monômios semelhantes e consiga realizar a redução polinomial.

Aprenda a utilizar o teorema da decomposição de polinômios
Matemática

Teorema da decomposição de um polinômio

Você conhece o teorema da decomposição de um polinômio? Aprenda a decompor polinômios em n fatores de grau 1!

Aprenda a encontrar todas as raízes reais de uma equação polinomial
Matemática

Teorema das raízes racionais

Você já ouviu falar do Teorema das Raízes Racionais? Aprenda a utilizá-lo para determinar as raízes de um polinômio de qualquer grau.

Matemática

Teorema de D’Alembert

Clique aqui e compreenda em que consiste o Teorema de D’Alembert!