Equação com fatorial

Na matemática utilizamos equações para resolver uma série de situações-problema. Existem fórmulas para resolver alguns tipos de equações; padrões e procedimentos para resolução de outras; o uso de propriedades operatórias para simplificação de cálculos; enfim, utilizamos todo conhecimento matemático a fim de obter o valor da incógnita em uma equação.

Em determinadas equações aparecem o conceito de fatorial, mostrando a necessidade de se conhecer bem a definição de fatorial e suas propriedades operatórias. Vejamos alguns exemplos dessas equações e como resolvê-las. Antes, vamos relembrar o conceito de fatorial de um número.

Seja n um número natural. O fatorial de n, representado por n!, é o produto de n por seus antecessores até 1. Ou seja:

Exemplo: Resolva as seguintes equações.

a) x - 5 = 4!

Solução: Esse é o caso mais simples de equação envolvendo fatorial. Temos que:

4! = 4∙3∙2∙1 = 24

Assim, a equação fica da seguinte forma:

x – 5 = 24
x = 24 + 5
x = 29

b)

Solução: Nesse tipo de equação é necessário desenvolver o fatorial no numerador ou no denominador da fração a fim de que o fatorial seja cancelado.

Podemos escrever n! da seguinte forma:

n! = n∙(n-1)!

Substituindo na equação inicial, obtemos:

c)

Solução: Podemos escrever n! da seguinte forma:

n!=n∙(n-1)∙(n-2)!

Substituindo na equação inicial, obtemos:

d)

Solução: Devemos reescrever (n – 1)! para simplificar com o denominador da fração. Assim, teremos:

(n-1)! = (n-1)∙(n-2)∙(n-3)!

Substituindo na equação inicial, obtemos:

Por Marcelo Rigonatto
Especialista em Estatística e Modelagem Matemática
Equipe Brasil Escola

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