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Equações irracionais

Matemática

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Equações irracionais têm a incógnita localizada no radical, ou seja, no interior da raiz. Com isso, para resolver uma equação irracional, é necessário antes ter em mente as propriedades de radiciação.

De modo geral, para essa resolução, utilizamos o princípio da equivalência para “sairmos” do caso irracional e chegarmos a uma equação do primeiro ou segundo grau.

Leia também: Diferenças entre função e equação

Como resolver uma equação irracional

Para resolver uma equação irracional, devemos utilizar o princípio da equivalência a fim de “eliminarmos” os radicais, isto é, devemos elevar ambos os lados da equação ao índice da raiz, uma vez que, quando essa propriedade é utilizada, o radical “desaparece”. Veja:

Realizado esse procedimento, a equação deixa de ser irracional e passa a ser racional, e, assim, para resolvê-la, utilizamos os métodos já conhecidos. Veja o exemplo a seguir:

Observe que o índice do radical é o número 5, assim sendo, para resolvermos essa equação, devemos elevar ambos os lados à quinta potência. Veja:

Portanto, o conjunto solução é dado por:

S = {32}

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Claro que existem casos mais complexos, mas o método de resolução sempre será o mesmo. Observe mais um exemplo:

Note que, para resolver tal equação irracional, devemos achar uma maneira de eliminar o radical que possui índice 2, ou seja, devemos elevar ambos os lados da equação ao quadrado e, em seguida, resolver a equação, confira:

Observe que de uma equação irracional caímos em uma equação do segundo grau, bastando agora resolvê-la utilizando o método de Bhaskara.

Portanto, o conjunto solução é dado por:

S = {7, 1}

As equações irracionais, por trazerem a incógnita dentro de um radical, utilizam a potenciação como uma ferramenta importante.
As equações irracionais, por trazerem a incógnita dentro de um radical, utilizam a potenciação como uma ferramenta importante.

Veja também: Redução de radicais ao mesmo índice

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (PUC-Rio) O número de soluções da equação, com x > 0, é igual a:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

Solução

Alternativa b. Para resolvermos a seguinte equação, devemos elevar seus lados ao quadrado, uma vez que o índice do expoente é igual a 2.

Observe que o enunciado pergunta-nos a quantidade de soluções maiores que zero, portanto, temos uma solução maior que zero.

Questão 2 – (UTF-PR) Adriana e Gustavo estão participando de uma gincana na cidade de Curitiba e receberam a seguinte tarefa: trazer a fotografia da construção localizada na rua XV de Novembro, número N, tal que a e b são as raízes da equação irracional.

Solução

Para que Adriana e Gustavo consigam levar a fotografia, eles devem determinar o número da construção, ou seja, o número N. Para isso, determinamos os números a e b, que são soluções da equação irracional.

Segundo o enunciado, os valores de a e b são as respectivas raízes da equação irracional, assim temos que:

a = 4 e b = – 1

Agora, para descobrir o valor de N, basta substituir os valores de a e b na expressão dada.

Portanto, o número do edifício é o 971.


Por Robson Luiz
Professor de Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

LUIZ, Robson. "Equações irracionais"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-irracionais.htm. Acesso em 05 de abril de 2020.

Assista às nossas videoaulas
Lista de Exercícios
Questão 1

Resolva a equação irracional a seguir:

Questão 2

Na equação irracional , determine o valor de x.

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