Passos para solucionar equações biquadradas

As equações biquadradas são aquelas que possuem grau 4, ou equações do 4º grau, cujos expoentes são pares, como constataremos logo mais. Portanto, uma condição indispensável é não existir expoentes ímpares na equação a ser resolvida.
Vejamos a forma geral de uma equação biquadrada:

Note que os expoentes da incógnita são expoentes pares (quatro e dois); esse fato é importante para que possamos realizar os passos de nossa resolução. Caso você se depare com uma equação do 4º grau que não seja escrita dessa forma (apenas com expoentes pares), os passos que utilizaremos não poderão ser aplicados. Veja um exemplo de uma equação do 4º grau que não é biquadrada:

A expressão que temos para resolver equações de maneira mais fácil é feita apenas para equações do 2º grau, portanto devemos encontrar uma maneira de transformar a equação biquadrada em uma equação do 2º grau. Para isso, veja uma maneira diferente de escrever a equação:

A incógnita pode ser escrita de maneira a aparecer a parte literal semelhante (x²). Partindo disso veremos os passos da resolução de uma equação biquadrada.

1) Substituir a incógnita da equação (no nosso exemplo é incógnita x), x², por outra incógnita, ou seja, por outra letra.

Faça a seguinte relação: x²=y. Com isso você estará substituindo os elementos da equação biquadrada nos quais aparece x², pela incógnita y. Como consequência desse fato: x⁴=y² e x²=y. Veja como ficaria a nossa equação:

Sendo assim, temos uma equação do 2º grau, que possui ferramentas próprias para sua resolução. Raiz de uma Equação do 2º Grau , Equação do 2º Grau. 
 

2) Obter o conjunto solução da equação do 2º grau.

Lembre-se que o conjunto solução dessa equação não representa a solução da equação biquadrada, pois ela remete à equação na incógnita y. Entretanto, a solução dessa equação do 2º grau é de grande importância para o próximo passo.
 

3) De acordo com a relação feita no primeiro passo, x²=y, cada solução da incógnita y equivale à incógnita x². Portanto, devemos calcular essa relação, substituindo as raízes de y na igualdade x²=y.

Vejamos um exemplo:

Encontre as raízes da seguinte equação: x⁴ – 5x² – 36 = 0

Faça x²=y. Com isso obteremos uma equação do 2º grau na incógnita y.

Resolva essa equação do 2º grau:

Devemos relacionar as duas raízes da equação em Y, com a equação x²=y.
Temos dois valores, portanto iremos avaliar cada raiz separadamente.

• y = 9;

• y = – 4;

Não existe nenhum valor de x que pertença ao conjunto dos números reais que satisfaça a igualdade acima, portanto as raízes (o conjunto solução) da equação x⁴ – 5x² – 36 = 0 são os valores x = 3 e x = –3.

Por Gabriel Alessandro de Oliveira
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola