Cubo

O cubo, conhecido também como hexaedro, é um sólido geométrico que possui seis faces, todas elas formadas por quadrados. Além das 6 faces, o cubo possui 12 arestas e 8 vértices. Estudado na Geometria Espacial, o cubo possui todas as suas arestas congruentes e perpendiculares, logo ele é classificado como um poliedro regular.  Podemos perceber a presença do formato de cubo no nosso cotidiano, em dados comuns utilizados em jogos, embalagens, caixas, entre outros objetos.

Leia também: Pirâmide — sólido geométrico que possui todas as suas faces formadas por triângulos

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre cubo
• 2 - O que é cubo?
• 3 - Elementos da composição do cubo
• 4 - Planificação do cubo
• 5 - Fórmulas do cubo
  • Área da base de um cubo
  • Área lateral do cubo
  • Área total do cubo
  • Volume do cubo
  • Diagonais do cubo
• 6 - Exercícios resolvidos sobre cubo

Resumo sobre cubo

• O cubo é conhecido também como hexaedro, por possuir 6 faces.

• O cubo é composto por 6 faces, 12 arestas e 8 vértices.

• O cubo possui todas as suas faces formadas por quadrados, logo suas arestas são congruentes, e por isso ele é um poliedro regular, conhecido também como sólido de Platão.

• A área da base do cubo é igual à área de um quadrado. Sendo a a medida da aresta, para calcular a área da base, temos que:

$A_b=a^2$

• A área lateral do cubo é formada por 4 quadrados de lados medindo a, então para calculá-la, utilizamos a fórmula:

$A_l=4a^2$

• Para calcular a área total do cubo, basta somar a área das suas duas bases com a área lateral. Assim, utilizamos a fórmula:

$A_T=6a^2$

• O volume do cubo é calculado pela fórmula:

$V=a^3$

• A medida da diagonal lateral do cubo é calculada pela fórmula:

$b=a\sqrt2$

• A medida da diagonal do cubo é calculada pela fórmula:

$d=a\sqrt3$

O que é cubo?

O cubo é um sólido geométrico composto por 12 arestas, 8 vértices e 6 faces. Devido ao fato de ele possuir 6 faces, o cubo é conhecido também como hexaedro.

Elementos da composição do cubo

Sabendo que o cubo possui 12 arestas, 8 vértices e 6 faces, veja a imagem a seguir.

• A, B, C, D, E, F, G e H são os vértices do cubo.

• $\overline{AB},\ \overline{AD},\ \overline{AE},\ \overline{BC},\ \overline{BF},\ \overline{CD,\ }\overline{CG},\ \overline{DH,\ }\overline{HG},\ \overline{EH}\overline{,\ EF},\ \overline{FG}$ são as arestas do cubo.

• ABCD, ABFE, BCFG, EFGH, ADHE, CDHG são as faces do cubo.

O cubo é composto por 6 faces quadradas, logo todas as suas arestas são congruentes. Pelo fato de suas arestas possuírem uma mesma medida, o cubo é classificado como um poliedro regular ou sólido de Platão, junto do tetraedro, octaedro, icosaedro e dodecaedro.

Planificação do cubo

Para calcular a área do cubo, é importante analisarmos sua planificação. A planificação do cubo é composta por 6 quadrados, todos congruentes entre si:

O cubo é composto por 2 bases quadradas, e a sua área lateral é composta por 4 quadrados, todos congruentes.

Veja também: Planificação dos principais sólidos geométricos

Fórmulas do cubo

Para calcular a área da base, a área lateral, a área total e o volume do cubo, consideraremos o cubo com aresta medindo a.

• Área da base de um cubo

Como a base é formada por um quadrado de aresta a, a área da base do cubo é calculada pela fórmula:

$A_b=a^2$

Exemplo:

Calcule a medida da base de um cubo que possui aresta medindo 12 cm:

Resolução:

$A_b=a^2$

$A_b={12}^2$

$A_b=144\ cm^2$

• Área lateral do cubo

A área lateral do cubo é composta por 4 quadrados, todos com lados medindo a. Dessa forma, para calcular a área lateral do cubo, a fórmula é:

$A_l=4a^2$

Exemplo:

Qual é a área lateral de um cubo que possui aresta medindo 8 cm?

Resolução:

$A_l=4a^2$

$A_l=4\cdot8^2$

$A_l=4\cdot64$

$A_l=256\ cm^2$

• Área total do cubo

A área total do cubo ou simplesmente área do cubo é a soma da área de todas as faces do cubo. Sabemos que ele possui, ao todo, 6 lados, formados por quadrados de lado a, então a área total do cubo é calculada por:

$A_T=6a^2$

Exemplo:

Qual é a área total de um cubo cuja aresta mede 5 cm?

Resolução:

$A_T=6a^2$

$A_T=6\cdot5^2$

$A_T=6\cdot25$

$A_T=150\ cm^2$

• Volume do cubo

O volume de um cubo é a multiplicação da medida das suas três dimensões. Como elas possuem todas a mesma medida, temos que:

$V=a^3$

Exemplo:

Qual é o volume de um cubo que possui aresta medindo 7 cm?

Resolução:

$V=a^3$

$V=7^3$

$V=343\ cm^3$

• Diagonais do cubo

No cubo podemos traçar a diagonal lateral, ou seja, a diagonal da sua face, e a diagonal do cubo.

◦ Diagonal lateral do cubo 

A diagonal lateral ou diagonal de uma face do cubo é indicada pela letra b na imagem. Pelo teorema de Pitágoras, temos um triângulo retângulo de catetos medindo a e hipotenusa medindo b:

b² = a² + a²

b² = 2a²

b = $\sqrt{2a^2}$

b = $a\sqrt2$

Logo, a fórmula para calcular a diagonal de uma face do cubo é:

$b=a\sqrt2$

◦ Diagonal do cubo

A diagonal d do cubo pode ser calculada utilizando o teorema de Pitágoras também, pois temos um triângulo retângulo de catetos b, a e hipotenusa medindo d:

$d^2=a^2+b^2$

Mas sabemos que b = $a\sqrt2$:

$d^2=a^2+\left(a\sqrt2\right)^2$

$d^2=a^2+a^2\cdot2$

$d^2=a^2+2a^2$

$d^2=3a^2$

$d=\sqrt{3a^2}$

$d=a\sqrt3$

Então, para calcular a diagonal do cubo, utilizamos a fórmula:

$d=a\sqrt3$

Saiba mais: Cilindro — um sólido geométrico que se classifica como corpo redondo

Exercícios resolvidos sobre cubo

Questão 1

A soma das arestas de um cubo é igual a 96 cm, então a medida da área total desse cubo é:

A) 64 cm²

B) 128 cm²

C) 232 cm²

D) 256 cm²

E) 384 cm²

Resolução:

Alternativa E

Primeiramente, calcularemos a medida da aresta do cubo. Como ele possui 12 arestas e sabemos que a soma das 12 arestas é 96, temos que:

a = 96 : 12

a = 8 cm

Sabendo que cada aresta mede 8 cm, agora é possível calcular a área total do cubo:

$A_T=6a^2$

$A_T=6\cdot8^2$

$A_T=6\cdot64$

$A_T=384\ cm^2$

Questão 2

Um reservatório de água precisa ser esvaziado para higienização. Sabendo que ele possui formato de um cubo com aresta de 2 m e que 70% desse reservatório já está vazio, então o volume desse reservatório que ainda está ocupado é de:

A) 1,7 m³

B) 2,0 m³

C) 2,4 m³

D) 5,6 m³

E) 8,0 m³

Resolução:

Alternativa C

Primeiramente, calcularemos o volume:

$V=a^3$

$V=2^3$

$V=8\ m^3$

Se 70% do volume está vazio, então 30% do volume está ocupado. Calculando 30% de 8:

$0,3\cdot8=2,4\ m^3$

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática