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Calota esférica

A calota esférica é uma parte da esfera encontrada quando esta é separada em duas partes por um plano. Quando o plano passa pelo centro, a calota é também um hemisfério.

Calota esférica rosa em um ambiente rosa, um corpo redondo obtido por meio da secção de uma esfera
A calota esférica é um corpo redondo obtido por meio da secção de uma esfera.
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A calota esférica é o sólido geométrico obtido quando uma esfera é interceptada por um plano, dividindo-a em dois sólidos geométricos. A calota esférica é considerada um corpo redondo, pois, assim como a esfera, possui forma arredondada. Para calcular a área e o volume de uma calota esférica, utilizamos fórmulas específicas.

Leia também: Tronco de cone — o sólido geométrico formado pela parte inferior do cone quando é feita uma secção paralela à base

Tópicos deste artigo

Resumo sobre calota esférica

  • A calota esférica é um sólido geométrico obtido quando a esfera é dividida por um plano.
  • Os principais elementos da calota esférica são o raio da esfera, o raio da calota esférica e a altura da calota esférica.
  • A calota esférica não é um poliedro, mas sim um corpo redondo.
  • Caso o plano divida a esfera ao meio, a calota esférica forma um hemisfério.
  • É possível calcular o raio da calota esférica usando o teorema de Pitágoras, organizado da seguinte forma:

\(\left(R-h\right)^2+r^2=R^2\)

  • A área da calota esférica pode ser calculada usando a fórmula:

\(A=2\pi rh\ \)

  • O volume da calota esférica pode ser calculado por meio da seguinte fórmula:

\(V=\frac{\pi h^2}{3}\cdot\left(3r-h\right)\)

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O que é calota esférica?

Calota esférica é o sólido geométrico obtido quando é feita uma secção da esfera com um plano. Quando cortamos a esfera com um plano, dividimos essa esfera em duas calotas esféricas. Quando dividimos a esfera ao meio, a calota esférica é conhecida como hemisfério.

Ilustração mostrando como a calota esférica é formada por meio da secção de uma esfera feita por um plano.

Elementos da calota esférica

Em uma calota esférica, os principais elementos são o raio da esfera, o raio da calota esférica e a altura da calota esférica.

Ilustração de uma calota esférica, com indicação de seus elementos.

  • R → raio da esfera.
  • r → raio da calota esférica.
  • h → altura da calota esférica.

A calota esférica é um poliedro ou um corpo redondo?

Podemos perceber que a calota é um sólido geométrico. Como possui base circular e superfície arredondada, a calota esférica é considerada um corpo redondo, que também é conhecido como sólido de revolução. Vale ressaltar que o poliedro possui faces formadas por polígonos, o que não é o caso da calota esférica, que possui base formada por um círculo.

Como calcular o raio da calota esférica?

Para calcular o comprimento do raio da calota esférica, é necessário conhecer o comprimento da altura h da calota esférica e o comprimento do raio R da esfera, pois, como podemos ver na imagem a seguir, existe uma relação pitagórica.

Ilustração mostrando a relação pitagórica que existe entre a altura da esfera, o raio da esfera e o raio da calota esférica.

Note que temos um triângulo retângulo, o triângulo OO’B, com hipotenusa medindo R e catetos medindo R – h e r. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos que:

\(\left(R-h\right)^2+r^2=R^2\)

Exemplo:

Qual é o raio de uma calota esférica que possui altura de 2 cm, sabendo que o raio da esfera é de 5 cm?

Resolução:

Aplicando a relação pitagórica:

\(\left(R-h\right)^2+r^2=R^2\)

\(\left(5-2\right)^2+r^2=5^2\)

\(3^2+r^2=25\)

\(9+r^2=25\)

\(r^2=25-9\)

\(r^2=16\)

\(r=\sqrt{16}\)

\(r=4\)

Como calcular a área da calota esférica?

Para calcular a área da calota esférica, é necessário conhecer a medida do comprimento do raio R da esfera e da altura h da calota. A fórmula utilizada para calcular a área dessa superfície é:

\(A=2\pi Rh\)

  • R → raio da esfera.
  • h → altura da calota esférica.

Exemplo:

Uma calota esférica foi obtida de uma esfera que possui 6 cm de raio e altura de 4 cm. Então, qual a área da superfície dessa calota esférica?

Resolução:

Calculando a área da calota esférica, temos que:

\(A=2\pi Rh\)

\(A=2\cdot\pi\cdot6\cdot4\ \)

\(A=48\pi\ cm^2\)

Como calcular o volume da calota esférica?

O volume da calota esférica pode ser calculado de duas maneiras. A primeira fórmula depende do raio R da esfera e da altura h:

\(V=\frac{\pi h^2}{3}\left(3 R-h\right)\)

Exemplo:

Qual é o volume de uma calota esférica obtida de uma esfera com raio de 8 cm cuja altura da calota esférica é de 6 cm?

Resolução:

Como conhecemos o valor de R e h, utilizaremos a primeira fórmula.

R = 8

h = 6

\(V=\frac{\pi h^2}{3}\left(3 R-h\right)\)

\(V=\frac{\pi6^2}{3}\left(3\cdot8-6\right)\)

\(V=\frac{36\pi}{3}\left(24-6\right)\)

\(V=12\pi\left(18\right)\)

\(V=216\pi\ cm^3\)

A outra fórmula de volume da calota esférica leva em consideração o raio da calota esférica r e a altura h da calota:

\(V=\frac{\pi h}{6}\left(3r^2+h^2\right)\)

Exemplo:

Qual é o volume de uma calota esférica que possui raio igual a 10 cm e altura igual a 4 cm?

Resolução:

Nesse caso, temos que r = 10 cm e que h = 4 cm. Como conhecemos o valor do raio da calota esférica e da altura, utilizaremos a segunda fórmula:

\(V=\frac{\pi h}{6}\left(3r^2+h^2\right)\)

\(V=\frac{4\pi}{6}\left(3{\cdot10}^2+4^2\right)\)

\(V=\frac{4\pi}{6}\left(3\cdot100+16\right)\)

\(V=\frac{4\pi}{6}\left(300+16\right)\)

\(V=\frac{4\pi}{6}\left(316\right)\)

\(V=\frac{1264\pi}{6}\)

\(V\approx210,7\ \pi\ cm³\)

Veja também: Tronco de pirâmide — o sólido geométrico formado pela parte inferior da pirâmide quando é feita uma secção transversal

Exercícios resolvidos sobre calota esférica

Questão 1

(Enem) Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe de cozinha usará um melão esférico com diâmetro medindo 10 cm, o qual servirá de suporte para espetar diversos doces. Ele vai retirar uma calota esférica do melão, conforme ilustra a figura, e, para garantir a estabilidade desse suporte, dificultando que o melão role sobre a mesa, o chef fará o corte de modo que o raio r da seção circular de corte seja de pelo menos 3 cm. Por outro lado, o chefe desejará dispor da maior área possível da região em que serão afixados os doces.

Ilustração de um melão esférico, que será seccionado e será retirada dele uma calota esférica, de uma questão do Enem 2017.

Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá cortar a calota do melão em uma altura h, em centímetro, igual a

A)  \(5-\frac{\sqrt{91}}{2}\)

B) \( 10-\sqrt{91}\)

C) 1

D) 4

E) 5

Resolução:

Alternativa C

Sabemos que o diâmetro da esfera mede 10 cm, logo o seu raio é 5 cm, então OB = 5 cm.

Se o raio da secção é de exatamente 3 cm, temos que:

AO² +AB² = OB²

AO² + 3² = 5²

AO² + 9 = 25

AO² = 25 – 9

AO² = 16

AO = \(\sqrt{16}\)

AO = 4 cm

Portanto:

h + 4 = 5

h = 5 – 4

h = 1

Questão 2

Uma calota esférica possui área igual a 144π cm². Sabendo que ela possui 9 cm de raio, a medida da altura dessa calota esférica é:

A) 8 cm

B) 10 cm

C) 14 cm

D) 16 cm

E) 22 cm

Resolução:

Alternativa A

Sabemos que:

\(A=2\pi Rh\)

\(144\pi=2\pi\cdot9\cdot h\)

\(144\pi=18\pi h\)

\(\frac{144\pi}{18\pi}=h\)

\(8=h\)

A altura é de 8 cm.

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Escritor do artigo
Escrito por: Raul Rodrigues de Oliveira Graduado em Matemática pela Universidade Federal de Goiás. Atua como professor do programa PIC Jr. (OBMEP) e como professor preceptor do programa Residência Pedagógica. Também é professor concursado da Seduc-GO, gestor escolar e produtor de conteúdo didático.

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Calota esférica"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calota-esferica.htm. Acesso em 21 de junho de 2024.

De estudante para estudante