Calota esférica

A calota esférica é o sólido geométrico obtido quando uma esfera é interceptada por um plano, dividindo-a em dois sólidos geométricos. A calota esférica é considerada um corpo redondo, pois, assim como a esfera, possui forma arredondada. Para calcular a área e o volume de uma calota esférica, utilizamos fórmulas específicas.

Leia também: Tronco de cone — o sólido geométrico formado pela parte inferior do cone quando é feita uma secção paralela à base

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre calota esférica
• 2 - O que é calota esférica?
• 3 - Elementos da calota esférica
• 4 - A calota esférica é um poliedro ou um corpo redondo?
• 5 - Como calcular o raio da calota esférica?
• 6 - Como calcular a área da calota esférica?
• 7 - Como calcular o volume da calota esférica?
• 8 - Exercícios resolvidos sobre calota esférica

Resumo sobre calota esférica

• A calota esférica é um sólido geométrico obtido quando a esfera é dividida por um plano.
• Os principais elementos da calota esférica são o raio da esfera, o raio da calota esférica e a altura da calota esférica.
• A calota esférica não é um poliedro, mas sim um corpo redondo.
• Caso o plano divida a esfera ao meio, a calota esférica forma um hemisfério.
• É possível calcular o raio da calota esférica usando o teorema de Pitágoras, organizado da seguinte forma:

$\left(R-h\right)^2+r^2=R^2$

• A área da calota esférica pode ser calculada usando a fórmula:

$A=2\pi rh\ $

• O volume da calota esférica pode ser calculado por meio da seguinte fórmula:

$V=\frac{\pi h^2}{3}\cdot\left(3r-h\right)$

O que é calota esférica?

Calota esférica é o sólido geométrico obtido quando é feita uma secção da esfera com um plano. Quando cortamos a esfera com um plano, dividimos essa esfera em duas calotas esféricas. Quando dividimos a esfera ao meio, a calota esférica é conhecida como hemisfério.

Elementos da calota esférica

Em uma calota esférica, os principais elementos são o raio da esfera, o raio da calota esférica e a altura da calota esférica.

• R → raio da esfera.
• r → raio da calota esférica.
• h → altura da calota esférica.

A calota esférica é um poliedro ou um corpo redondo?

Podemos perceber que a calota é um sólido geométrico. Como possui base circular e superfície arredondada, a calota esférica é considerada um corpo redondo, que também é conhecido como sólido de revolução. Vale ressaltar que o poliedro possui faces formadas por polígonos, o que não é o caso da calota esférica, que possui base formada por um círculo.

Como calcular o raio da calota esférica?

Para calcular o comprimento do raio da calota esférica, é necessário conhecer o comprimento da altura h da calota esférica e o comprimento do raio R da esfera, pois, como podemos ver na imagem a seguir, existe uma relação pitagórica.

Note que temos um triângulo retângulo, o triângulo OO’B, com hipotenusa medindo R e catetos medindo R – h e r. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos que:

$\left(R-h\right)^2+r^2=R^2$

Exemplo:

Qual é o raio de uma calota esférica que possui altura de 2 cm, sabendo que o raio da esfera é de 5 cm?

Resolução:

Aplicando a relação pitagórica:

$\left(R-h\right)^2+r^2=R^2$

$\left(5-2\right)^2+r^2=5^2$

$3^2+r^2=25$

$9+r^2=25$

$r^2=25-9$

$r^2=16$

$r=\sqrt{16}$

$r=4$

Como calcular a área da calota esférica?

Para calcular a área da calota esférica, é necessário conhecer a medida do comprimento do raio R da esfera e da altura h da calota. A fórmula utilizada para calcular a área dessa superfície é:

$A=2\pi Rh$

• R → raio da esfera.
• h → altura da calota esférica.

Exemplo:

Uma calota esférica foi obtida de uma esfera que possui 6 cm de raio e altura de 4 cm. Então, qual a área da superfície dessa calota esférica?

Resolução:

Calculando a área da calota esférica, temos que:

$A=2\pi Rh$

$A=2\cdot\pi\cdot6\cdot4\ $

$A=48\pi\ cm^2$

Como calcular o volume da calota esférica?

O volume da calota esférica pode ser calculado de duas maneiras. A primeira fórmula depende do raio R da esfera e da altura h:

$V=\frac{\pi h^2}{3}\left(3 R-h\right)$

Exemplo:

Qual é o volume de uma calota esférica obtida de uma esfera com raio de 8 cm cuja altura da calota esférica é de 6 cm?

Resolução:

Como conhecemos o valor de R e h, utilizaremos a primeira fórmula.

R = 8

h = 6

$V=\frac{\pi h^2}{3}\left(3 R-h\right)$

$V=\frac{\pi6^2}{3}\left(3\cdot8-6\right)$

$V=\frac{36\pi}{3}\left(24-6\right)$

$V=12\pi\left(18\right)$

$V=216\pi\ cm^3$

A outra fórmula de volume da calota esférica leva em consideração o raio da calota esférica r e a altura h da calota:

$V=\frac{\pi h}{6}\left(3r^2+h^2\right)$

Exemplo:

Qual é o volume de uma calota esférica que possui raio igual a 10 cm e altura igual a 4 cm?

Resolução:

Nesse caso, temos que r = 10 cm e que h = 4 cm. Como conhecemos o valor do raio da calota esférica e da altura, utilizaremos a segunda fórmula:

$V=\frac{\pi h}{6}\left(3r^2+h^2\right)$

$V=\frac{4\pi}{6}\left(3{\cdot10}^2+4^2\right)$

$V=\frac{4\pi}{6}\left(3\cdot100+16\right)$

$V=\frac{4\pi}{6}\left(300+16\right)$

$V=\frac{4\pi}{6}\left(316\right)$

$V=\frac{1264\pi}{6}$

$V\approx210,7\ \pi\ cm³$

Veja também: Tronco de pirâmide — o sólido geométrico formado pela parte inferior da pirâmide quando é feita uma secção transversal

Exercícios resolvidos sobre calota esférica

Questão 1

(Enem) Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe de cozinha usará um melão esférico com diâmetro medindo 10 cm, o qual servirá de suporte para espetar diversos doces. Ele vai retirar uma calota esférica do melão, conforme ilustra a figura, e, para garantir a estabilidade desse suporte, dificultando que o melão role sobre a mesa, o chef fará o corte de modo que o raio r da seção circular de corte seja de pelo menos 3 cm. Por outro lado, o chefe desejará dispor da maior área possível da região em que serão afixados os doces.

Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá cortar a calota do melão em uma altura h, em centímetro, igual a

A)  $5-\frac{\sqrt{91}}{2}$

B) $10-\sqrt{91}$

C) 1

D) 4

E) 5

Resolução:

Alternativa C

Sabemos que o diâmetro da esfera mede 10 cm, logo o seu raio é 5 cm, então OB = 5 cm.

Se o raio da secção é de exatamente 3 cm, temos que:

AO² +AB² = OB²

AO² + 3² = 5²

AO² + 9 = 25

AO² = 25 – 9

AO² = 16

AO = $\sqrt{16}$

AO = 4 cm

Portanto:

h + 4 = 5

h = 5 – 4

h = 1

Questão 2

Uma calota esférica possui área igual a 144π cm². Sabendo que ela possui 9 cm de raio, a medida da altura dessa calota esférica é:

A) 8 cm

B) 10 cm

C) 14 cm

D) 16 cm

E) 22 cm

Resolução:

Alternativa A

Sabemos que:

$A=2\pi Rh$

$144\pi=2\pi\cdot9\cdot h$

$144\pi=18\pi h$

$\frac{144\pi}{18\pi}=h$

$8=h$

A altura é de 8 cm.

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática