Tronco de cone

O tronco de um cone é o sólido formado pela parte inferior do cone ao realizarmos uma secção em qualquer altura paralela à base. Quando cortamos o cone em uma altura qualquer, ele é dividido em dois sólidos geométricos, um cone menor do que o anterior e o tronco de um cone.

O tronco do cone possui fórmulas específicas para que seja possível calcular a área total e o volume desse sólido geométrico.

Leia também: Quais são os sólidos de Platão?

Tópicos deste artigo

• 1 - Elementos do tronco de cone
• 2 - Geratriz do tronco de cone
• 3 - Volume do tronco de cone
• 4 - Planificação do tronco de um cone
• 5 - Área total do tronco de cone
• 6 - Exercícios resolvidos

Elementos do tronco de cone

O tronco de um cone é um caso especial de corpos redondos. Ele recebe esse nome porque, em um cone, quando realizamos uma secção paralela à base, ele é dividido em duas partes. A parte que está embaixo é o tronco do cone.

Dado o tronco de um cone, existem elementos importantes nesse sólido, que recebem nomes específicos.

R → raio da base maior

h → altura do cone

r → raio da base menor

g → geratriz do tronco de cone

Podemos perceber que o tronco do cone é composto por duas faces no formato de círculo, as quais são conhecidas como bases. Além disso, uma delas possui sempre raio menor que o da outra. Assim, r < R e, consequentemente, há uma base maior e uma base menor.

Geratriz do tronco de cone

Dado um tronco de cone, é possível calcular o valor da geratriz desse sólido utilizando o teorema de Pitágoras, quando conhecemos os raios da base maior e menor, além da altura.

g² = h² + (R – r)²

Exemplo:

Encontre a geratriz de um tronco de cone que possui altura igual a 8 cm, raio da base maior igual a 10 cm e raio da base menor igual a 4 cm.

Para encontrar a geratriz do tronco do cone, temos que:

h = 8
R = 10
r = 4

Substituindo na fórmula:

g² = h² + (R – r)²
g² = 8² + (10 – 4)²
g² = 64 + 6²
g² = 64 + 36
g² = 100
g = √100
g = 10 cm

Veja também: Como encontrar o centro de uma circunferência?

Volume do tronco de cone

Para calcular o volume do tronco do cone, utilizamos a fórmula:

Conhecendo os valores da altura, do raio da base maior e do raio da base menor, é possível calcular o volume do tronco de um cone.

Exemplo:

Encontre o volume de um tronco de cone que possui altura igual a 6 cm, raio da base maior igual a 8 cm e raio da base menor igual a 4 cm. Use π = 3,1.

Planificação do tronco de um cone

A planificação de um sólido geométrico é a representação das suas faces de forma bidimensional. Veja a seguir a planificação do tronco de cone.

Área total do tronco de cone

Conhecendo a planificação de um tronco de cone, é possível calcular o valor da área total desse sólido geométrico. Sabemos que ele é composto por duas bases no formato de um círculo e também pela sua área lateral. A área total do tronco de um cone é a soma das áreas dessas três regiões:

A_T = A_B + A_b + A_l

A_T → área total

A_B → área da base maior

A_b → área da base menor

A_L → área lateral

Note que as bases são círculos e que a área lateral parte de uma circunferência, então:

A_l = πg (R + r)

A_B = πR²

A_b = πr²

Exemplo:

Calcule a área total do tronco de cone que possui altura igual a 12 cm, raio da base maior igual a 10 cm e raio da base menor igual a 5 cm. Use π = 3.

Primeiro encontraremos a geratriz para calcular a área lateral:

g² = 12² + (10 – 5)²
g² = 12² + 5²
g² = 144 + 25
g² = 169
g = √169
g = 13

A_l = πg (R + r)
A_l = 3 · 13 (10 + 5)
A_l = 39 · 15
A_l = 39 · 15
A_l = 585 cm²

Agora calcularemos a área de cada uma das bases:

A_B = πR²
A_B = 3 · 10²
A_B = 3 · 100
A_B = 300 cm²

A_b = πr²
A_b = 3 · 5²
A_b = 3 · 25
A_b = 75 cm²

A_T = A_B + A_b + A_l
A_T = 300 + 75 + 585 = 960 cm²

Veja também: Quais as diferenças entre círculo e circunferência?

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (Enem 2013) Uma cozinheira, especialista em fazer bolos, utiliza uma forma no formato representado na figura:

Nela se identifica a representação de duas figuras geométricas tridimensionais. Essas figuras são:

A) um tronco de cone e um cilindro.

B) um cone e um cilindro.

C) um tronco de pirâmide e um cilindro.

D) dois troncos de cone.

E) dois cilindros.

Resolução

Alternativa D. Analisando os sólidos geométricos, os dois possuem duas faces circulares de tamanhos diferentes, logo são troncos de cone.

Questão 2 – (Nucepe) Como é e para que serve prioritariamente uma xícara todos sabemos: servir bebidas, especialmente quentes. Mas de onde surgiu a ideia de criar um "copo com alça"?

O chá, que tem origem oriental, era inicialmente servido em potes redondos, sem alças. Segundo a tradição, isso era até mesmo um alerta para quem conduzia a cerimônia da bebida: Caso o recipiente queimasse as pontas dos dedos, estava quente demais para ser ingerido. Na temperatura ideal, ela não incomodava, mesmo com o contato direto com a porcelana.

Fonte: http://www.mexidodeideias.com.br/viagem/a-historia-da-xicara. Acesso em 06/01/2018.

Uma xícara de chá tem a forma de um tronco de cone reto, conforme a figura abaixo. Qual o volume máximo, aproximado, de líquido que ela pode conter?

A) 168 cm³

B) 172 cm³

C) 166 cm³

D) 176 cm³

E) 164 cm³

Resolução

Alternativa D.

Para encontrar o volume, primeiro vamos calcular o valor de cada um dos raios. Para isso, basta dividir o diâmetro por dois.

R = 8/ 2 = 4

r = 4/2 = 2

Além do raio, sabemos que h = 6.

Então, temos que:

O valor mais próximo é 176 cm³.

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática