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Bissetriz

Conhecemos como bissetriz a semirreta interna de um ângulo traçada a partir de seu vértice, dividindo-o em dois ângulos congruentes.

A bissetriz é a semirreta que divide um ângulo em dois ângulos congruentes.
A bissetriz é a semirreta que divide um ângulo em dois ângulos congruentes.
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Bissetriz é a semirreta interna de um ângulo traçada a partir do vértice deste, dividindo-o em dois ângulos congruentes. As bissetrizes de um triângulo se encontram em um ponto conhecido como incentro, que é o centro da circunferência inscrita nesse polígono.

A partir da bissetriz foram elaborados dois teoremas importantes: o do ângulo interno e o do ângulo externo, desenvolvidos em triângulos que utilizam a proporção para relacionar os lados desse polígono. No plano cartesiano, é possível traçar a bissetriz nos quadrantes ímpares e nos pares.

Leia também: Pontos notáveis de um triângulo

Tópicos deste artigo

Resumo sobre bissetriz

  • A bissetriz é uma semirreta que divide um ângulo em dois ângulos congruentes.

  • Podemos traçar as bissetrizes de ângulos internos de triângulos.

  • A partir da bissetriz de um ângulo do triângulo foi desenvolvido o teorema do ângulo interno.

  • Existem duas bissetrizes no plano cartesiano, a dos quadrantes pares e a dos quadrantes ímpares.

O que é bissetriz?

Dado um ângulo AOB, chamamos de bissetriz a semirreta OC, que parte do ponto O e divide o ângulo AOB em dois ângulos congruentes.

Demarcação de bissetriz em ângulo
α = β

Na imagem, a semirreta OC é a bissetriz do ângulo AOB.

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Como encontrar a bissetriz?

Para encontrar a bissetriz, são utilizados como instrumentos uma régua e um compasso e são seguidos os passos a seguir:

  • 1º passo: Coloca-se a ponta seca do compasso sob o vértice O e é feito um arco sobre as semirretas OA e OB.

Representação de arco feito com compasso sobre as semirretas OA e OB

  • 2º passo: Coloca-se a ponta seca do compasso no ponto de intersecção do arco com a semirreta OA e é feito um arco com o compasso virado para a parte interna do ângulo.

Representação de arcos feitos com compasso para delimitar bissetriz

  • 3º passo: No ponto de intersecção do arco com a semirreta OB coloca-se a ponta seca do compasso e repete-se o processo anterior.

Representação de três arcos feitos com compasso para delimitar bissetriz

  • 4º passo: Por fim, ao traçar uma semirreta do vértice do ângulo que passa pelos pontos de intersecção entre os arcos, a bissetriz do ângulo é encontrada.

Bissetriz delimitada a partir de arcos feitos com compasso

Leia também: Baricentro — um dos pontos notáveis de um triângulo

Bissetriz de um triângulo

Quando são traçadas as bissetrizes dos ângulos internos de um triângulo, podemos encontrar seu ponto notável, conhecido como incentro, que é o ponto de encontro das bissetrizes e também o centro da circunferência inscrita no polígono.

Demarcação de incentro em triângulo
O incentro é o encontro das bissetrizes do triângulo

Teorema da bissetriz interna

São formados segmentos proporcionais aos lados adjacentes de um triângulo quando traçamos a bissetriz de um de seus ângulos internos.

Bissetriz traçada em triângulo e formação de segmentos proporcionais

Segmentos proporcionais de triângulo

Exemplo:

Dado o triângulo a seguir, encontre o comprimento do lado AC.

Triângulo para determinação de comprimento do lado AC

Resolução:

Aplicando o teorema da bissetriz interna, calcula-se:

Calculando valor de lado de triângulo por meio do teorema da bissetriz interna

  • Videoaula sobre teorema da bissetriz interna

Teorema da bissetriz externa

Quando a bissetriz de um dos ângulos externos de um triângulo é traçada, o prolongamento do lado oposto ao ângulo externo forma segmentos proporcionais aos lados adjacentes.

Triângulo para ilustrar teorema da bissetriz externa

Segmentos proporcionais em triângulo

Exemplo:

Encontre o valor de x.

Triângulo para encontrar valor do x por meio do teorema da bissetriz externa

Aplicando o teorema da bissetriz externa, temos que:

Cálculo para encontrar o valor de x em triângulo por meio do teorema da bissetriz externa

Bissetriz dos quadrantes do plano cartesiano

É possível traçar a bissetriz no plano cartesiano. Existem duas possibilidades: a bissetriz que passa pelos quadrantes pares e a que passa pelos quadrantes ímpares.

A bissetriz dos quadrantes ímpares passa pelos 1º e 3º quadrantes. Quando a bissetriz corta os quadrantes ímpares, a sua equação é y = x. Logo, os pontos pertencentes à bissetriz dos quadrantes pares possuem abcissa e ordenada iguais.

Bissetriz em quadrantes ímpares

O segundo caso se refere a quando a bissetriz passa pelos quadrantes pares, ou seja, pelos 2º e 4º quadrantes. Quando isso ocorre, a equação da reta será y = – x. Logo, os pontos possuem abcissa e ordenada como números simétricos.

Bissetriz em quadrantes pares

Leia também: Teorema fundamental da semelhança — a relação entre uma reta paralela e o lado de um triângulo

Exercícios resolvidos sobre bissetriz

Questão 1

Na imagem a seguir, sabendo que OC é a bissetriz do ângulo AOB, podemos afirmar que a medida do ângulo AOB é igual a

Bissetriz sobre ângulo BÔA

A) 15°

B) 30°

C) 35°

D) 60°

E) 70º

Resolução:

Alternativa E

Como OC é bissetriz, temos o seguinte:

3x – 10 = 2x + 5

3x – 2x = 10 + 5

x = 15°

Sabe-se que x = 15 e que o valor da metade do ângulo AOB é igual a 2x + 5. Substituindo x por 15, obtém-se:

2 · 15 + 5

30 + 5

35°

A metade do ângulo AOB é de 35°. Logo, o ângulo AOB é igual ao dobro de 35°, ou seja,

AOC = 35 · 2 = 70°.

Questão 2

Em um triângulo foram traçadas as suas três bissetrizes internas. Após traçá-las, foi possível perceber que elas se encontram em um ponto. O ponto de encontro das bissetrizes de um triângulo é conhecido como

A) baricentro.

B) incentro.

C) circuncentro.

D) ortocentro.

Resolução:

Alternativa B

Quando as bissetrizes internas de um triângulo são traçadas, o ponto de encontro delas é conhecido como incentro.

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Bissetriz"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/bissetriz.htm. Acesso em 26 de maio de 2022.

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Lista de exercícios


Exercício 1

O segmento de reta que divide um ângulo ao meio é conhecido como:

A) baricentro.

B) ortocentro.

C) mediatriz.

D) bissetriz.

E) segmento médio.

Exercício 2

No ângulo AOC foi traçada a bissetriz OB, dividindo-o no ângulo AOB, com medida igual a 3x + 3°, e no BOC, medindo 4x – 6°. A medida do ângulo AOC é:

A) 9°

B) 15°

C) 30°

D) 45°

E) 60°

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