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Função de segundo grau

Matemática

A função de segundo grau é dada pela seguinte lei de formação: f(x) = ax2 + bx+ c. O coeficiente (a) sempre deverá ser diferente de zero.
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Para uma equação ser uma função, ela deve apresentar domínio e imagem. A imagem é dada pelos valores que f(x) ou y podem assumir na função. Esses valores são dependentes em relação a x, que é o domínio. Por esse motivo, consideramos que x é o termo independente e que y é o termo dependente.

O grau de uma função é dado pelo maior expoente que a incógnita x assume. Recorde-se que incógnita é um termo desconhecido que deve ser encontrado. O grau determina a quantidade de possíveis raízes que a função possui. Abaixo veremos algumas funções e identificaremos o seu grau:

  • Primeiro grau: f(x) = ax + b = → É uma função de grau 1. Essa é a equação da reta. Lembre-se de que toda vez que uma incógnita não possuir um número representando o seu expoente, esse número será 1. Exemplo de função de 1º grau: f(x) = 2x + 1

  • Segundo grau: f(x) = ax2 + bx+ c → É uma função de grau 2.
    Exemplo: f(x) = 3x2 + x + 2

  • Terceiro grau: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d → É uma função de grau 3.
    Exemplo: f(x) = 5x3 + 2x2 + 3x + 1

Agora que aprendemos a identificar o grau de uma função, podemos concluir que, em uma função de segundo grau, o maior expoente que acompanha a incógnita será sempre o número 2. Toda a função do segundo grau é representada pela lei de formação: f(y) = ax2 + bx + c, sendo a, b, e c (coeficientes) números reais. Vale ressaltar que o valor numérico de a sempre deverá ser diferente de zero. A função do segundo grau pode ainda ser chamada de função quadrática ou função polinomial do 2° grau. Como o grau da função é 2, ela pode apresentar até duas raízes reais.

A estrutura da função do segundo grau é ordenada na forma decrescente em relação aos seus expoentes. Veja:

f(x) = bx+ ax2 + cx0 → Os expoentes que acompanham a incógnita x são: 1, 2 e 0.

f(x) = ax2 + bx + cx0 = 0 → Devemos organizar de forma decrescente os valores dos expoentes que acompanham as incógnitas.

f(x) = ax2 + bx + c = 0 → Como qualquer valor elevado ao expoente zero é 1, teremos que: cx0 = c . 1 = c.

Antes de resolver uma função do segundo grau, devemos fazer a redução dos termos semelhantes e ordená-la em relação aos seus expoentes. Observe o exemplo:

f(x) = ( 2x – 1 ) . ( x + 2) - [ ( x + 1 ) . ( x - 3 ) ] → Inicialmente devemos aplicar a propriedade distributiva.
f(x) = 2x2 – 4x – 1x – 2 - [ x2 – 3x + x – 3] → Efetue o produto do sinal em - [ x2 – 3x + x – 3] .
f(x) = 2x2 – 4x – 1x – 2 - x2 + 3x - x + 3 → Agrupamos os termos semelhantes, ordenando-os de forma decrescente em relação ao expoente da incógnita x.
f(x) = 2x2 – x2 – 4x – 1x + 3x - x – 2 + 3 → Reduza os termos semelhantes.
f(x) = x2 – 3x + 1 → A função encontrada é, de fato, do segundo grau, já que: ax2 = 1x2, bx = - 3x e c = 1

Uma função do segundo grau pode ser do tipo completa ou incompleta:

  • Função do segundo grau completa: A função do tipo f(x) = ax2 + by+ c é considerada completa se os coeficientes a, b e c forem diferentes de zero.
    Exemplos: f(x) = x2 + y+ 1 → a = 1, b = 1 e c = 1
    f(x) = 2x2 + 3y+ 6 → a = 2, b = 3 e c = 6

  • Função do segundo grau incompleta: A função do tipo f(x) = ax2 + by+ c será incompleta quando o coeficiente b ou c for igual a zero.
    Exemplos: f(x) = x2 + y → a = 1, b = 1 e c = 0
    f(x) = 3x2 + 1 → a = 3, b = 0 e c = 1
    f(x) = 4x2 → a = 4, b = 0 e c = 0

Assim sendo, uma função será considerada do segundo grau quando possuir:

- Sinal de igualdade;
- Domínio e imagem;
- Incógnita;
- Coeficiente a diferente de zero;
- Grau 2 para a função.


Por Naysa Oliveira
Graduada em Matemática

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