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Ponto máximo e ponto mínimo de uma função do 2º grau

Matemática

O ponto de máximo e o ponto de mínimo de uma função do 2º grau são definidos pela concavidade da parábola, se está voltada para baixo ou para cima.
A concavidade da parábola define o ponto máximo e o ponto mínimo da função do 2º grau.
A concavidade da parábola define o ponto máximo e o ponto mínimo da função do 2º grau.
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Toda expressão na forma y = ax² + bx + c ou f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais, sendo a ≠ 0, é denominada função do 2º grau. A representação gráfica de uma função do 2º grau é dada através de uma parábola, que pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo. Veja:
 

Para determinar o ponto máximo e o ponto mínimo de uma função do 2º grau, basta calcular o vértice da parábola utilizando as seguintes expressões matemáticas:

O ponto máximo e o ponto mínimo podem ser atribuídos a várias situações presentes em outras ciências, como Física, Biologia, Administração, Contabilidade entre outras.

Física: movimento uniformemente variado, lançamento de projéteis.
Biologia: na análise do processo de fotossíntese.
Administração: estabelecendo pontos de nivelamento, lucros e prejuízos.

Exemplos

1 – Na função y = x² - 2x +1, temos que a = 1, b = -2 e c = 1. Podemos verificar que a > 0, então a parábola possui concavidade voltada para cima, possuindo ponto mínimo. Vamos calcular as coordenadas do vértice da parábola.
 

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As coordenadas do vértice são (1, 0).

2 – Dada a função y = -x² -x + 3, temos que a = -1, b = -1 e c = 3. Temos a < 0, então a parábola possui concavidade voltada para baixo tendo um ponto máximo. Os vértices da parábola podem ser calculados da seguinte maneira:
 

As coordenadas do vértice são (-0,5; 3,25).


Concluímos que o vértice da parábola deve ser considerado um ponto notável, em razão da sua importância na construção do gráfico de uma função do 2º grau e sua relação com os pontos de valor máximo e mínimo.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
 

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Função de 2º Grau - Funções - Matemática - Brasil Escola

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Ponto máximo e ponto mínimo de uma função do 2º grau"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/maximo-minimo.htm. Acesso em 19 de agosto de 2019.

Lista de Exercícios
Questão 1

Em uma apresentação aérea de acrobacias, um avião a jato descreve um arco no formato de uma parábola de acordo com a seguinte função y = –x² + 60x. Determine a altura máxima atingida pelo avião. 

Questão 2

Uma empresa produz um determinado produto com o custo definido pela seguinte função C(x) = x² – 80x + 3000. Considerando o custo C em reais e x a quantidade de unidades produzidas, determine a quantidade de unidades para que o custo seja mínimo e o valor desse custo mínimo. 

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