Notificações
Você não tem notificações no momento.
Whatsapp icon Whatsapp
Copy icon

Inequação do 2º grau

Inequação do 2º grau é uma expressão algébrica com desigualdade em que o maior expoente da incógnita é 2.

Imagem explicando o que é uma inequação do 2º grau e dando alguns exemplos.
A inequação do 2º grau é uma expressão algébrica que representa desigualdades.
Imprimir
Texto:
A+
A-
Ouça o texto abaixo!

PUBLICIDADE

Inequação do 2º grau é uma expressão algébrica com desigualdade em que o maior expoente da incógnita é 2. Resolver uma inequação significa determinar qual intervalo de valores que a incógnita pode assumir para satisfazer a expressão. Outra forma de resolver uma inequação do 2° grau é analisar o gráfico da função do 2° grau associada.

Leia também: Inequação modular — expressão algébrica com desigualdade que possui uma variável dentro do módulo

Tópicos deste artigo

Resumo sobre inequação do 2º grau

  • Inequação do 2º grau é uma expressão com desigualdade em que o maior expoente da incógnita é 2.
  • Para resolvê-la, devemos obter as raízes da equação associada e analisar os sinais da incógnita para valores em cada intervalo determinado pelas raízes.
  • Outra forma de encontrar a solução dela é analisar o gráfico da função associada.

O que é uma inequação do 2º grau?

Uma inequação do 2º grau é uma expressão algébrica com desigualdade em que o maior expoente da incógnita é 2. Assim, a inequação do 2º grau apresenta um dos seguintes formatos, em que a, b e c são números reais:

  • \( ax^2+bx+c<0\)
  • \( ax^2+bx+c\le0\)
  • \( ax^2+bx+c>0\)
  • \( ax^2+bx+c\geq0\)

Lembre-se de que os sinais <, ≤,>,≥ indicam desigualdades e significam, respectivamente, “menor”, “menor ou igual”, “maior” e “maior ou igual”.

Exemplo:

\(x^2-4<0\) é uma inequação do 2º grau, com a=1, b=0 e c=-4. Resolva essa inequação.

Resolução:

Resolver essa inequação é indicar quais números reais podemos substituir a incógnita x para que \(x^2-4<0\). Vamos testar alguns números.

  • Se \(x=-3\), temos que \(\left(-3\right)^2-4\ =9-4=5\). Como 5 não é menor que 0, o número –3 não é uma solução para a inequação.
  • Se \(x=0\), temos que \(0^2-4=-4\). Como – 4 é menor que 0, o número 0 é uma solução para a inequação.
  • Se \(x=5\), temos que \(1^2-4=1-4=-3\). Como –3 é menor que 0, o número 1 é uma solução para a inequação.
  • Se \(x=5,5\), temos que \(\left(5,5\right)^2-4=30,25-4=26,25\). Como 26,25 não é menor que 0, o número 5,5 não é uma solução para a inequação.

Encontramos duas soluções para a inequação, e poderíamos continuar testando números para encontrar outras. No entanto, resolver a inequação significa encontrar todas as soluções, ou seja, determinar o intervalo do conjunto solução. Vejamos, a seguir, como fazer isso.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Como resolver uma inequação do 2º grau?

Para resolver uma inequação do 2º grau, devemos seguir os seguintes passos:

  • 1º passo: comparar a expressão com a equação do 2º grau correspondente.
  • 2º passo: obter as raízes da equação.
  • 3º passo: atribuir valores para a incógnita com base nos intervalos de números reais determinados pelas raízes da equação e avaliar quais satisfazem a inequação.

Exemplo:

Determine o conjunto solução da inequação do 2º grau \(x^2-4<0\).

Resolução:

Vamos analisar a equação do 2º grau correspondente:

\(x^2-4=0\)

\(x^2=4\)

Assim, \(x_1=-2 \ e\ x_2=2\) são as raízes da equação \(x^2-4=0\).

Agora vamos analisar o que ocorre na expressão \(x^2-4\) para os números reais nos intervalos definidos por –2 e 2. Lembre-se de que buscamos valores de x, em que \(x^2-4<0\).

  • Se \(x<-2\), tem-se que \(x^2-4\) é maior que zero.

(Testamos \(x=-3\) anteriormente e obtemos 5 como resultado. Poderíamos atribuir outros valores para x com \(x<-2\) e teríamos que \(x^2-4 \) é maior que zero.)

  • Se \(-2 < x < 2\), tem-se que \(x^2-4\) é menor que zero.

(Testamos \(x = 0\) e \(x = 1\) anteriormente e obtemos –4 e –3, respectivamente, como resultados. Poderíamos atribuir outros valores para x, com \(-2 < x < 2\), e teríamos que \(x^2-4 \) é menor que zero.)

  • Se \(2 < x\), tem-se que \(x^2-4\) é maior que zero.

(Testamos \(x=5,5\) anteriormente e obtemos 26,25 como resultado. Poderíamos atribuir outros valores para x, com \(2 < x\), e teríamos que \(x^2-4\) é maior que zero.)

Dessa forma, o conjunto solução é \(S = \{ x \in R / -2 < x < 2 \}\)

→ Outra forma de resolver uma inequação do 2º grau

Um modo mais direto de resolver uma inequação do 2° grau é analisar os sinais do gráfico da função do 2º grau à qual a inequação do 2º grau está associada. Considerando uma função do 2° grau \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\), o gráfico desse tipo de função é uma parábola cuja concavidade está associada ao sinal de a:

  • Se a>0, a concavidade é voltada para cima.
  • Se a<0, a concavidade é voltada para baixo.

Exemplo:

Qual o conjunto solução da inequação \(2x^2-6x+4\geq0\)?

Resolução:

Vamos analisar a equação do 2º grau correspondente:

\(2x^2-6x+4=0\)

Utilizando a fórmula de Bháskara, temos que:

\(x=\frac{6\pm\sqrt{36-4\cdot2\cdot4}}{4}\)

Assim, \(x_1=1 \ e\ x_2=2 \) são as raízes da equação \(2x^2-6x+4=0\).

Agora considere a função \(f\left(x\right)=2x^2-6x+4\). Como 2>0, o gráfico dessa função é uma parábola com concavidade para cima. Além disso, pelo que analisamos, o gráfico dessa função cruza o eixo horizontal quando x=1 e quando x=2. Assim, o comportamento dessa função próximo a esses valores é o seguinte:

Gráfico de uma função do 2º grau sendo utilizado para resolver uma inequação do 2º grau.

Note que:

  • Se x<1, tem-se que \(2x^2-6x+4\) é maior que zero.
  • Se 1< x < 2, tem-se que \(2x^2-6x+4\) é menor que zero.
  • Se 2 < x, tem-se que \(2x^2-6x+4\) é maior que zero

Portanto, o conjunto solução da inequação \(2x^2-6x+4\geq0 \ é \ S=\{x\in R/x\le1\ \mathrm{ou\ }2\le x\}\).

Veja também: Sistema de inequação do 1º grau — formado por duas ou mais inequações do 1º grau

Exercícios resolvidos sobre inequações do 2º grau

Questão 1

(Udesc) O conjunto solução da inequação \(x^2-2x-3\le0\) é:

A) \( \{x\in R/-1\ < x < 3\}\)

B) \( \{x\in R/-1\ < x \leq 3\}\)

C) \( \{x\in R/x<-1\ \mathrm{ou\ }x>3\}\)

D) \( \{x\in R/x<-1\ \mathrm{ou\ }x\geq3\}\)

E) \( \{x\in R/-1\le x\le3\}\)

Resolução:

Alternativa E

Considere a equação \(x^2-2x-3=0\). Utilizando a fórmula de Bháskara, temos que:

\(x=\frac{2\pm\sqrt{4-4\cdot1\cdot-3}}{2}\)

Assim, \(x_1=-1 \ e\ x_2=3\) são as raízes da equação \(x^2-2x-3=0\).

Considere \(f\left(x\right)=x^2-2x-3\). O gráfico dessa função possui a concavidade para cima e cruza o eixo horizontal em \(x_1=-1 \ e\ x_2=3\).

Portanto, os valores de x, em que \(x^2-2x-3\le0\), são os valores de –1 a 3, incluido \(x=-1 \ e\ x=3\).

Questão 2

(PUC) Quantas soluções inteiras a inequação \(x^2+x-20\le0\) admite?

A) 2

B) 3

C) 7

D) 10

E) 13

Resolução:

Alternativa D

Considere a equação \(x^2+x-20=0\). Utilizando a fórmula de Bháskara, temos que:

\(x=\frac{-1\pm\sqrt{1-4\cdot1\cdot-20}}{2}\)

Assim, \(x_1=-5 \ e\ x_2=4\) são as raízes da equação \(x^2+x-20=0\).

Considere \(f\left(x\right)=x^2+x-20\). O gráfico dessa função possui a concavidade para cima e cruza o eixo horizontal em x1=-5 e x2=4.

Portanto, os valores de x, em que \(x^2+x-20\le0\), são os valores de – 5 a 4, incluido \(x=-5 \ e\ x=4\). Dessa forma, o conjunto com as soluções inteiras é:

\(\{-5,\ -4,-3,-2,-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\}\)

Fontes

LIMA, Elon L. et al. A Matemática do Ensino Médio: Volume 1. Coleção Professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2016.

MINEIRO, R. M. Estudo das três dimensões do problema didático de inequações. Tese (Doutorado em Educação Matemática) - Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2019. Disponível em https://repositorio.pucsp.br/jspui/handle/handle/22984.

Escritor do artigo
Escrito por: Maria Luiza Alves Rizzo Autora, Leitora Crítica e Revisora de Matemática apaixonada por escrever. Especialista pela UFPI (2023) e Licenciada pela UFSM (2022), trabalha em projetos editoriais para o Ensino Fundamental, Ensino Médio e Pré-vestibular.

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

RIZZO, Maria Luiza Alves. "Inequação do 2º grau"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/inequacao-segundo-grau.htm. Acesso em 22 de abril de 2024.

De estudante para estudante


Lista de exercícios


Exercício 1

Resolva a inequação do 2° grau (3x – 1)(x + 1) ≥ 0.

Exercício 2

Resolva a inequação (x + 4)(x – 4) < 0

Artigos Relacionados


Demonstração da Fórmula de Bhaskara

Clique e conheça a demonstração da fórmula de Bháskara que se baseia no método completar quadrados.
Matemática

Inequação Produto

Inequação, o que é inequação, sinais da inequação, estudo do sinal, estudo do sinal de uma inequação, inequação produto, produto de inequações, função, jogo de sinal.
Matemática

Inequação modular

Entenda o que é uma inequação modular e aprenda como encontrar o seu conjunto de soluções. Observe exemplos e resolva exercícios sobre o tema.
Matemática

Inequação modular

Entenda o que é uma inequação modular e aprenda como encontrar o seu conjunto de soluções. Observe exemplos e resolva exercícios sobre o tema.
Matemática

Inequação produto e inequação quociente

Clique aqui e conheça a inequação produto e a inequação quociente. Aprenda também a encontrar seus conjuntos de solução.
Matemática

Inequações exponenciais

Compreendendo a resolução de problemas envolvendo inequações exponenciais. Métodos para resolver inequações exponenciais.
Matemática

Inequações logarítmicas

Você sabe como resolver inequações logarítmicas? Confira nossas dicas e tire todas as suas dúvidas!
Matemática

Inequações polinomiais do 1º grau

Inequação, Equação, Função, Inequação do 1º grau, Equação do 1º grau, Função do 1º grau, Igualdade, Sinais da inequação, pertence, Solução da inequação, Resolução de inequações.
Matemática

Propriedades e características da desigualdade

Clique para conhecer algumas características das desigualdades nas inequações e as suas propriedades operatórias.
Matemática

Solução da inequação fundamental senx > k

Clique e descubra como encontrar a solução da inequação fundamental senx > k com o uso do ciclo trigonométrico.
Matemática