O que é semelhança de triângulos?

Dois polígonos, com o mesmo número de lados, são semelhantes quando possuem ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais. Em outras palavras, polígonos semelhantes possuem o mesmo formato, mas suas dimensões nem sempre apresentam o mesmo tamanho. Observe na imagem a seguir um exemplo contendo dois triângulos semelhantes. Como essas figuras também são polígonos, então essa também é a sua definição de semelhança.

Os triângulos são polígonos que possuem o menor número de lados, portanto, é possível criar estratégias para diminuir o trabalho de verificar a semelhança entre eles. Essas estratégias são conhecidas como casos de semelhança de triângulos e serão discutidas a seguir.

1º Caso de semelhança: Ângulo-Ângulo (AA)

Sempre que dois triângulos possuírem dois ângulos correspondentes congruentes, eles já serão completamente semelhantes. Perceba que, se dois triângulos possuem dois ângulos congruentes, eles também apresentam o terceiro ângulo congruente. Isso é garantido pela soma dos ângulos internos dos triângulos que sempre será igual a 180°.

O exemplo seguinte mostra em vermelho dois ângulos congruentes de dois triângulos distintos. O restante das medidas foi colocado em cinza apenas para perceber-se a semelhança entre os triângulos.

Observe que os lados correspondentes desses dois triângulos são proporcionais e que os ângulos que sobraram, destacados na cor cinza, são congruentes.

2º Caso de semelhança: Lado-Lado-Lado (LLL)

Sempre que dois triângulos possuírem três lados correspondentes proporcionais, então eles serão semelhantes. Em outras palavras, triângulos que possuem três lados proporcionais sempre apresentam os ângulos correspondentes congruentes.

O exemplo a seguir mostra dois triângulos semelhantes, pois eles possuem as medidas de seus três lados proporcionais. Em cinza, estão as medidas dos ângulos desses triângulos.

3º Caso de semelhança: Lado-Ângulo-Lado (LAL)

Se dois triângulos distintos possuem dois lados proporcionais e o ângulo entre esses lados é congruente, então esses dois triângulos são semelhantes. Na imagem a seguir, veja um exemplo de triângulos com dois lados proporcionais e o ângulo entre eles congruente. Colocamos no exemplo o restante das medidas do triângulo em cinza para evidenciar a semelhança entre eles.

Exemplo

Os dois triângulos a seguir são semelhantes. Determine a medida do segmento DF.

Como dois triângulos semelhantes possuem lados correspondentes proporcionais, para descobrir a medida de x, basta montar a proporção:

 5  =  4 
x     14

4x = 5·14

4x = 70
x = 70
      4

x = 17,5 cm

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática