Progressões

Matemática

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Conhecemos como progressões casos particulares de sequências numéricas. Existem dois casos de progressões:

  • progressão aritmética

  • progressão geométrica

Para ser uma progressão, precisamos analisar as características da sequência para caso exista o que chamamos de razão. Quando a progressão é aritmética, a razão nada mais é que uma constante que somamos a um termo para achar o seu sucessor na sequência; agora, ao trabalhar-se com uma progressão geométrica, a razão possui uma função parecida, só que nesse caso a razão é o termo constante pelo qual multiplicamos um termo da sequência para achar o seu sucessor.

Devido ao comportamento previsível de uma progressão, existem fórmulas específicas para encontrar-se qualquer termo dessas sequências, e também é possível desenvolver-se uma fórmula para cada uma delas (ou seja, uma para a progressão aritmética e outra para a progressão geométrica), a fim de calcular-se a soma dos n primeiros termos dessa progressão.

Leia também: Funções – quais são e para que servem?

A quantidade de feijões por colher comporta-se como uma progressão geométrica
A quantidade de feijões por colher comporta-se como uma progressão geométrica

Sequência numérica

Para compreender o que são as progressões, primeiro precisamos entender o que são sequências numéricas. Como o nome sugere, conhecemos como sequência numérica um conjunto de números que respeitam uma ordem, sendo bem definida ou não. Diferentemente dos conjuntos numéricos em que a ordem não importa, em uma sequência numérica, a ordem é essencial, por exemplo:

A sequência (1, 2, 3, 4, 5) é diferente de (5, 4, 3, 2, 1), que é diferente da sequência (1, 5, 4, 3, 2). Mesmo que os elementos sejam os mesmos, como a ordem é diferente, então temos sequências diferentes.

Exemplos:

Podemos escrever sequências cujas formações são fáceis de serem percebidas:

a) (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12) → sequência dos números pares menores ou iguais a 12.

b) (17, 15, 13, 11, 9, 7, 5) → sequência regressiva dos números ímpares de 17 até 5.

c) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 …) → conhecida como sequência de Fibonacci.

d) (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4 …) → ainda que não seja possível descrever essa sequência como as outras, é fácil prever quais serão seus próximos termos.

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Em outros casos, as sequências podem possuir total aleatoriedade em seus valores, de todo modo, para ser sequência, o que importa é ter-se um conjunto de valores ordenados.

a) (1; 0,1; 0,02; 0,07; 0,0001; 7)

b) (2, 3, -3, 2, 6, 4, 8, -2 ...)

Por mais que não seja possível prever quem são os próximos termos na letra b, ainda assim estamos trabalhando com uma sequência.

De forma geral, as sequências são representadas sempre entre parênteses ( ), da seguinte maneira:

(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8 …) → sequência infinita

(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8 … an) → sequência finita

Em ambas, temos a seguinte representação:

a1 → primeiro termo

a2 → segundo termo

a3 → terceiro termo

.

.

.

an → enésimo termo

Observação: é de grande importância que, ao representar uma sequência, os dados estejam entre parênteses. Muitas vezes se confunde a notação da sequência com a notação de conjuntos. Um conjunto é representado entre chaves, e no conjunto a ordem não é importante, o que faz toda diferença nesse caso.

(1, 2, 3, 4, 5) → sequência

{1, 2, 3, 4, 5} → conjunto

Existem casos particulares de sequência que são conhecidos como progressões.

Veja também: O que é o princípio fundamental da contagem?

O que são progressões?

Uma sequência é definida como uma progressão quando ela possui uma regularidade de um termo para o outro, conhecida como razão. Existem dois casos de progressão, a progressão aritmética e a progressão geométrica. Para saber diferenciar cada uma delas, precisamos compreender o que é a razão de uma progressão e como essa razão interage com os termos da sequência.

Quando, de um termo para o outro da sequência, eu tenho uma soma constante, essa sequência é definida como uma progressão, e, nesse caso, trata-se de uma progressão aritmética. Esse valor que estamos somando constantemente é conhecido como razão. O outro caso, ou seja, quando a sequência é uma progressão geométrica, de um termo para o outro existe uma multiplicação por um valor constante. Analogamente, esse valor é a razão da progressão geométrica.

Exemplos:

a) (1, 4, 7, 10, 13, 16 …) → note que estamos sempre somando 3 de um termo para o outro, então temos uma progressão aritmética de razão igual a 3.

b) (1, 10, 100, 1000, 10000 …) → nesse caso estamos sempre multiplicando por 10 de um termo para o outro, tratando-se de uma progressão geométrica de razão 10.

c) (0, 2, 8, 26 …) → nesse último caso, há apenas uma sequência. Para encontrarmos o próximo termo, multiplicamos o termo por 3 e somamos 2. Esse caso, por mais que exista uma regularidade para encontrar os próximos termos, é apenas uma sequência, não se tratando de uma progressão aritmética ou geométrica.

Progressão aritmética

Quando trabalhamos com sequências numéricas, é bastante recorrente aquelas sequências em que conseguimos prever seus próximos termos. Para que essa sequência seja classificada como uma progressão aritmética, é necessário que exista uma razão r. A partir do primeiro termo, o próximo termo é construído pela soma do termo anterior com a razão r.

Exemplos:

a) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25...)

Essa é uma sequência que pode ser classificada como progressão aritmética, pois a razão r = 3 e o primeiro termo é 4.

b) (7, 2, -3, -8, -13, -18, -23 …)

Essa sequência é uma progressão aritmética com razão r = -5, e o seu primeiro termo é 7.

  • Termos de uma PA

Em muitos casos, o nosso interesse é encontrar um termo em específico da progressão, sem que seja necessário escrever toda a sequência. Conhecendo o valor do primeiro termo e da razão, é possível encontrarmos o valor de qualquer termo de uma progressão aritmética. Para encontrarmos os termos de uma progressão arimética, usamos a fórmula:

an = a1 + (n - 1)r

Exemplo:

Encontre o 25º termo de uma P.A cuja razão é 3 e primeiro termo é 12.

Dados r = 3, a1 = 12. Queremos encontrar o 25º termo, ou seja, n = 25.

an = a1 + (n - 1)r

a25 = 12 + (25 - 1) · 3

a25 = 12 + 24 · 3

a25 = 12 + 72

a25 = 84

  • Termo geral de uma P.A.

A fórmula do termo geral é uma maneira de simplificar a fórmula de um termo de uma PA para encontrar qualquer termo da progressão mais rapidamente. Conhecidos o primeiro termo e a razão, basta substituir na fórmula de um termo de uma P.A., a fim de encontrar o termo geral da progressão aritmética, que depende somente do valor de n.

Exemplo:

Encontre o termo geral de uma P.A. que possui r = 3 e a1 = 2.

an = 2 + (n -1) r

an = 2 + (n -1) 3

an = 2 + 3n – 3

an = 2n – 1

Esse é o termo geral de uma P.A., que serve para encontrar qualquer termo dessa progressão.

  • Soma dos termos de uma PA

A soma dos termos de uma PA seria bastante trabalhosa se fosse necessário encontrar cada um de seus termos e realizar a soma entre eles. Existe uma fórmula para calcular-se a soma de todos os n primeiros termos de uma progressão aritmética:

Exemplo:

Encontre a soma de todos os números ímpares de 1 a 100.

Sabemos que os números ímpares são uma progressão aritmética de razão 2: (1, 3, 5, 7… 99). Nessa progressão há 50 termos, já que, de 1 até 100, a metade dos números é par, e a outra, ímpar.

Sendo assim, temos que:

n = 50

a1 = 1

an = 99

Acesse também: Função do 1º grau – utilização prática da progressão aritmética

Progressão geométrica

Uma sequência pode ser classificada também como progressão geométrica (PG). Para que uma sequência seja uma progressão geométrica, ela precisa possuir uma razão, mas, nesse caso, para encontrar o próximo termo a partir do primeiro termo, realizamos a multiplicação da razão pelo termo anterior.

Exemplos:

a) (3, 6, 12, 24, 48 …) → Progressão geométrica de razão 2, e seu primeiro termo é 3.

b) (20, 200, 2000, 20 000 …) → Progressão geométrica de razão 10, e seu primeiro termo é 20.

  • Termo de uma PG

Em uma progressão geométrica, representamos a razão pela letra q. O termo de uma progressão geométrica pode ser encontrado pela fórmula:

an = a1 · qn - 1

Exemplo:

Encontre o 10º termo de uma PG, sabendo que q = 2 e a1 = 5.

an = a1 · qn - 1

a10 = 5 · 210 - 1

a10 = 5 · 29

a10 = 5 · 512

a10 = 2560

  • Termo geral de uma PG

Quando conhecemos o primeiro termo e a razão, é possível gerar a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica que depende exclusivamente do valor de n. Para isso basta realizarmos a substituição do primeiro termo e da razão, e encontraremos uma equação que depende somente do valor de n.

Utilizando o exemplo anterior, em que a razão é 2 e o primeiro termo é 5, o termo geral dessa PG é:

an = a1 · qn - 1

an = 5 · 2n - 1

  • Soma dos termos de uma PG

Somar todos os termos de uma progressão seria bastante trabalhoso. Em muitos casos, escrever toda a sequência para realizar essa soma demanda muito tempo. Para facilitar esse cálculo, a progressão geométrica possui uma fórmula que serve para calcular a soma dos n primeiros elementos de uma PG finita:

Exemplo:

Encontre a soma dos 10 primeiros termos da PG (1, 2, 4, 8, 16, 32 …).

Note que a razão dessa PG é igual a 2.

a1 = 1

q = 2

n = 10

Leia também: Função exponencial – utilização prática da progressão geométrica

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Uma determinada cultura de bactéricas está sendo observada durante alguns dias por cientistas. Um deles está analisando o crescimento dessa população, e percebeu que, no primeiro dia, havia 100 bactérias; no segundo, 300 bactérias; no terceiro, 900 bactérias, e assim sucessivamente. Analisando essa sequência, podemos afirmar que ela é:

A) uma progressão aritmética de razão 200.

B) uma progressão geométrica de razão 200.

C) uma progressão arimética de razão 3.

D) uma progressão geométrica de razão 3.

E) uma sequência, mas não uma progressão.

Resolução

Alternativa D.

Analisando a sequência, temos os termos:

Note que 900/300 = 3, assim como 300/100 = 3. Sendo assim, estamos trabalhando com uma PG de razão 3, pois estamos multiplicando por três a partir do primeiro termo.

Questão 2 – (Enem – PPL) Para um principiante em corrida, foi estipulado o seguinte plano de treinamento diário: correr 300 metros no primeiro dia e aumentar 200 metros por dia, a partir do segundo. Para contabilizar seu rendimento, ele utilizará um chip, preso ao seu tênis, para medir a distância percorrida nos treinos. Considere que esse chip armazene, em sua memória, no máximo 9,5 km de corrida/caminhada, devendo ser colocado no momento do início do treino e descartado após esgotar o espaço para reserva de dados. Se esse atleta utilizar o chip desde o primeiro dia de treinamento, por quantos dias consecutivos esse chip poderá armazenar a quilometragem desse plano de treino diário?

A) 7

B) 8

C) 9

D) 12

E) 13

Resolução

Alternativa B.

Analisando a situação, sabemos que temos uma PA com razão 200 e término inicial igual a 300.

Além disso, sabemos que a soma Sn = 9,5 km = 9500 metros.

Com esses dados, vamos encontrar o termo an, que é a quantidade de quilômetros registrada no último dia de armazenamento.

Vale lembrar também que um termo qualquer an pode ser escrito como:

an = a1 + (n - 1)r

Dada a equação 200n² + 400n – 19000 = 0, podemos dividir todos os termos por 200, simplificando a equação e encontrando: n² + 2n – 95 = 0.

Por delta e Bhaskara, temos que:

a = 1

b = 2

c = -95

Δ = b² - 4ac

Δ = 2² – 4 · 1 · (-95)

Δ = 4 – 4 · (-95)

Δ = 4 + 380

Δ = 384

Sabemos que 8,75 corresponde a 8 dias e algumas horas. Nesse caso, a quantidade de dias em que é possível realizar-se a medição é 8.

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

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