Interpolação de Meios Aritméticos

Uma progressão aritmética consiste em uma sequência numérica que respeita uma condição geral de formação. Vale lembrar que a lógica numérica entre os elementos de uma progressão é dada pela razão entre os números dispostos. Interpolar meios aritméticos significa determinar os números reais existentes entre os valores dos extremos de uma sequência numérica, de modo a se tornar uma Progressão Aritmética. Para isso, necessitamos de relembrar algumas situações envolvendo PA. Veja:

Fórmula para o cálculo do Termo Geral

Cada termo sequencial de uma PA é dependente do valor da razão e do 1° termo. Observe:

A₂ = a₁ + r
A₃ = a₁ + 2r
A₄ = a₁ + 3r
A₅ = a₁ + 4r
A₆ = a₁ + 5r
A₇ = a₁ + 6r
A₈ = a₁ + 7r

E assim sucessivamente.

Para determinarmos os elementos existentes entre os valores extremos de uma PA, necessitamos do valor da razão. Vamos, através de um exemplo, determinar o método prático adotado nesse tipo de situação problema.

Exemplo 1

Sabendo que uma PA é formada por 20 números, em que a₁ = 3 e a₂₀ = 79. Determine os meios aritméticos existentes entre a₁ e a₂₀.

Vamos determinar a razão dessa PA com base na seguinte situação:

A₂₀ = a₁ + 19r
79 = 3 + 19r
79 – 3 = 19r
76 = 19r
r = 4

Sabendo que a razão da PA é igual a 4, determinaremos os números entre a₁ e a₂₀:

3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, 55, 59, 63, 67, 71, 75, 79.

Exemplo 2

Uma empresa obteve no mês de janeiro um lucro líquido equivalente a R$ 14.000,00. Neste mesmo ano, no mês de dezembro, o lucro líquido foi de R$ 80.000,00. Sabendo que o lucro foi originado de acordo com uma PA crescente, determine o faturamento referente aos outros meses do ano.

Janeiro → A₁ = 14.000
Dezembro → A₁₂ = 80.000

A₁₂ = a₁ + 11r
80.000 = 14.000 + 11r
80.000 – 14.000 = 11r
11r = 66000
r = 6000

Detalhamento mensal do faturamento da empresa:

Janeiro: R$ 14.000,00
Fevereiro: R$ 20.000,00
Março: R$ 26.000,00
Abril: R$ 32.000,00
Maio: R$ 38.000,00
Junho: R$ 44.000,00
Julho: R$ 50.000,00
Agosto: R$ 56.000,00
Setembro: R$ 62.000,00
Outubro: R$ 68.000,00
Novembro: R$ 74.000,00
Dezembro: R$ 80.000,00

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Progressões - Matemática - Brasil Escola