Sequência numérica

 A sequência numérica, como o nome sugere, é uma sequência de números e geralmente possui uma lei de recorrência, o que torna possível prever quais serão os próximos termos conhecendo os seus antecessores. Podemos montar sequências numéricas com diferentes critérios, como uma sequência dos números pares, ou sequência dos números divisíveis por 4, sequência de números primos, sequência dos quadrados perfeitos, enfim, existem várias possibilidades de sequências numéricas.

Quando classificamos a sequência quanto à quantidade de termos, a sequência pode ser finita ou infinita. Quando classificamos a sequência quanto ao comportamento dos termos, essa sequência pode ser crescente, decrescente, oscilante ou constante. Existem casos especiais de sequências que são conhecidos como progressões aritméticas e progressões geométricas.

Leia também: Como calcular a soma dos termos de uma progressão aritmética?

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre sequência numérica
• 2 - Lei de ocorrência de sequência numérica
• 3 - Classificação da sequência numérica
  • Classificação quanto à quantidade de termos
  • Classificação quanto ao comportamento
• 4 - Lei de formação da sequência numérica
• 5 - Progressão aritmética e progressão geométrica
  • Progressão aritmética
  • Progressão geométrica
• 6 - Exercícios resolvidos sobre sequência numérica

Resumo sobre sequência numérica

• A sequência numérica nada mais é do que uma sequência de números.

• Alguns exemplos de sequência numérica:

  • sequência de números pares (0,2,4,6,8…);

  • sequência dos naturais menores que 6 (1, 2, 3, 4, 5);

  • sequência de números primos (2,3,5,7,11,…).

• A lei de formação de uma progressão é a regra que rege essa sequência.

• Uma sequência pode ser finita ou infinita.

  • Finita: quando possui uma quantidade limitada de termos.

  • Infinita: quando possui uma quantidade ilimitada de termos.

• Uma sequência pode ser crescente, descrente, constante ou oscilante.

  • Crescente: quando o termo é sempre menor que seu sucessor.

  • Decrescente: quando o termo é sempre maior que seu sucessor.

  • Constante: quando o termo é sempre igual ao seu sucessor.

  • Oscilante: quando há termos maiores e menores que o seu sucessor.

• Existem casos especiais de sequência conhecidos como progressão aritmética ou progressão geométrica.

Lei de ocorrência de sequência numérica

Conhecemos como sequência numérica qualquer sequência formada por números. Geralmente demonstramos as sequências fazendo uma lista dos seus termos, entre parênteses e separados por vírgula. Essa lista é conhecida como lei de ocorrência de uma sequência numérica.

(a₁, a₂, a_3, … , a_n)

a₁ → 1º termo da sequência

a₂ → 2º termo da sequência

a₃ → 3º termo da sequência

a_n → n-ésimo termo da sequência

Vejamos alguns exemplos a seguir.

Exemplo 1:

Lei de ocorrência da sequência dos números múltiplos de 5:

(0, 5, 10, 15, 20, 25, …)

Exemplo 2:

Lei de ocorrência da sequência dos números primos:

(2,3,5,7,11,13,17,19,23 … )

Exemplo 3:

Lei de ocorrência dos inteiros negativos:

( – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, – 6, – 7...)

Exemplo 4:

Sequência dos números ímpares menores que 10:

(1, 3, 5, 7, 9)

Leia também: Quais são as propriedades dos números pares e ímpares?

Classificação da sequência numérica

Existem duas maneiras distintas de classificar uma sequência. A primeira delas é quanto à quantidade de termos, forma pela qual uma sequência pode ser finita ou infinita. A outra maneira de classificar as sequências é quanto ao seu comportamento. Nesse caso, elas são classificadas como crescentes, decrescentes, constantes ou oscilantes.

• Classificação quanto à quantidade de termos

→ Sequência numérica finita

A sequência é finita quando ela possui uma quantidade limitada de termos.

Exemplos:

• (1, 2, 3, 4, 5)

• (– 16, – 8, – 4, – 2, – 1)

→ Sequência numérica infinita

A sequência é infinita quando ela possui uma quantidade ilimitada de termos.

Exemplos:

• (10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000 … )

• (– 5, – 8, – 11, – 14, – 17, – 20, – 23 … )

• Classificação quanto ao comportamento

→ Sequência numérica crescente

Uma sequência é crescente quando um termo qualquer é sempre menor que o seu sucessor na sequência.

Exemplos:

• (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … )

• ( – 5, – 3, – 1, 1, 3, 5, 7)

→ Sequência numérica decrescente

Uma sequência é decrescente quando um termo qualquer é sempre maior que o seu sucessor na sequência.

Exemplos:

• (10, 7, 4, 1, – 2, – 5, – 8 … )

• (4, – 8, – 16, – 32, – 64 )

→ Sequência numérica constante

Uma sequência é constante quando todos os termos da sequência são iguais:

Exemplos:

• (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,)

• ( – 4, – 4, – 4, – 4 … )

→ Sequência numérica oscilante

Uma sequência é oscilante quando há termos que são maiores e termos que são menores que os seus respectivos sucessores na sequência:

Exemplos:

• (1,-2,4,-8,16,-32,64...)

• (1, – 1, 1, – 1, 1 , – 1)

Lei de formação da sequência numérica

Algumas sequências podem ser descritas por uma fórmula que gera os seus termos. Essa fórmula é conhecida como lei de formação. Utilizamos a lei de formação para encontrar qualquer termo na sequência quando conhecemos o comportamento dela.

Exemplo 1:

A sequência a seguir é formada por quadrados perfeitos:

(0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 64, … )

Podemos descrever essa sequência pela lei de formação:

a_n = (n – 1)²

n → número do termo

a_n → o termo de posição n

Com essa fórmula, é possível saber, por exemplo, o termo que ocupa a posição número 10 na sequência:

a₁₀ = ( 10 – 1) ²

a₁₀ = 9²

a₁₀ = 81

Exemplo 2:

Liste os termos da sequência cuja lei de formação é a_n = 2n – 5.

Para listar, encontraremos os primeiros termos da sequência:

1º termo:

a_n = 2n – 5

a₁ = 2·1 – 5

a₁ = 2 – 5

a₁ = – 3

2º termo:

a_n = 2n – 5

a₂ = 2·2 – 5

a₂ = 4 – 5

a₂ = – 1

3º termo:

a_n = 2n – 5

a₃ = 2·3 – 5

a₃ = 6 – 5

a₃ = 1

4º termo:

a_n = 2n – 5

a₄ = 2·4 – 5

a₄ = 8 – 5

a₄ = 3

5º termo:

a₅ = 2n – 5

a₅ = 2·5 – 5

a₅ = 10 – 5

a₅ = 5

Então a sequência é:

(– 1, 1, 3, 5 … )

Veja também: Números romanos — sistema numérico que utiliza letras para representar valores e quantidades

Progressão aritmética e progressão geométrica

Existem casos especiais de sequências que são conhecidos como progressão aritmética e progressão geométrica. Uma sequência é uma progressão quando existe uma razão de um termo para o seu sucessor.

• Progressão aritmética

Quando conhecemos o primeiro termo da sequência e, para encontrar o segundo, somamos o primeiro a um valor r e, para encontrar o terceiro termo, somamos o segundo a esse mesmo valor r, e assim sucessivamente, a sequência é classificada como uma progressão aritmética.

Exemplo:

(1, 5, 9, 13, 17, 21, …)

Essa é uma progressão aritmética de razão igual a 4 e primeiro termo igual a 1.

Note que, para encontrar o sucessor de um número na sequência, basta somar 4, por isso dizemos que 4 é a razão dessa progressão aritmética.

• Progressão geométrica

Na progressão geométrica, também existe uma razão, mas, nesse caso, para encontrar o sucessor de um termo, devemos multiplicar o termo pela razão.

Exemplo:

(2, 6, 18, 54, 162, … )

Essa é uma progressão geométrica de razão igual a 3 e primeiro termo igual a 2.

Note que, para encontrar o sucessor de um número nessa sequência, basta multiplicar por 3, o que faz com que a razão dessa progressão geométrica seja 3.

Exercícios resolvidos sobre sequência numérica

Questão 1 - Analisando a sequência (1, 4, 9, 16, 25, … ), podemos afirmar que os dois próximos números serão:

A) 35 e 46.

B) 36 e 49.

C) 30 e 41.

D) 41 e 66.

Resolução

Alternativa B.

Para encontrar os termos da sequência, é importante encontrar uma regularidade na sequência, ou seja, entender a sua lei de ocorrência. Note que, do primeiro termo para o segundo termo, somamos 3; do segundo para o terceiro termo, somamos 5; do terceiro para o quarto termo e do quarto para o quinto termo, somamos, respectivamente, 7 e 9, logo a soma aumenta duas unidades a cada termo da sequência, ou seja, no próximo, somaremos 11, depois 13, depois 15, depois 17 e assim sucessivamente. Para encontrar o sucessor do 25, somaremos 11.

25 + 11 = 36.

Para encontrar o sucessor de 36, somaremos 13.

36 + 13 = 49

Então os próximos termos serão 36 e 49.

Questão 2 - (Instituto AOCP) A seguir, é apresentada uma sequência numérica, tal que os elementos dessa sequência foram dispostos obedecendo a uma lei (lógica) de formação, em que x e y são números inteiros: (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y). Observando essa sequência e encontrando os valores de x e de y, seguindo a lei de formação da sequência dada, é correto afirmar que

A) x é um número maior que 30.

B) y é um número menor que 5.

C) a soma de x com y resulta em 25.

D) o produto de x por y resulta em 106.

E) a diferença entre y e x, nessa ordem, é um número positivo.

Resolução

Alternativa C.

Queremos encontrar o 7º e 8º termo dessa sequência.

Analisando a lei de ocorrência da sequência (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y), é possível perceber que existe uma lógica para os termos ímpares (1º termo, 3º termo, 5º termo … ). Note que o 3º termo é igual ao 1º termo menos 2, pois 24 – 2 = 22. Usando essa mesma lógica, o 7º termo, representado por x, será o 5º termo menos 2, ou seja, x = 20 – 2 = 18.

Existe lógica parecida para os termos pares (2º termo, 4º termo, 6º termo … ): o 4º termo é o 2º termo menos 2, pois 13 – 2 = 11, e assim sucessivamente. Queremos o 8º termo, representado por y, que será o 6º termo menos 2, então y = 9 – 2 = 7.

Logo, temos x = 18 e y = 7. Analisando as alternativas, temos que x + y = 25, ou seja, a soma de x com y resulta em 25.

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática