Séries Geométricas Convergentes e Divergentes

Algumas situações envolvendo progressões geométricas recebem atenção especial quanto ao desenvolvimento e solução. Determinadas sequências geométricas, quando somadas, tendem a um valor numérico fixo, isto é, a introdução de novos termos na soma faz com a que a série geométrica se aproxime cada vez mais de um valor, esse tipo de comportamento é chamado de Série Geométrica Convergente. Vamos analisar a seguinte progressão geométrica (4, 4/3, 4/9, 4/27, ...) de razão q = 1/3, determinando as seguintes situações: S₅ e S₁₀.

Soma dos Termos de uma Progressão Geométrica

À medida que o número de termos aumenta, o valor da soma dos termos da progressão se aproxima de 6. Concluímos que a soma da sequência (4, 4/3, 4/9, 4/27, ...) se converge para 6 sempre que novos elementos são introduzidos. Podemos demonstrar a situação geral da seguinte forma: 4 + 4/3 + 4/9 + 4/27 + ... = 6.

Outra situação envolvendo Progressões Geométricas são as Séries Divergentes, que não tendem a um número fixo como as Convergentes, pois aumentam cada vez mais à medida que são introduzidos novos termos à progressão. Observe a PG
(3, 6, 12, 24, 48, ...) de razão q = 2, vamos determinar as somas quando: n = 10 e n = 15.

Note que a soma aumentou de acordo com o número de termos, S₁₀ = 3069 e S₁₅ = 98301, dessa forma, dizemos que a série diverge, ela fica grande à medida que se queira.

Voltando ao estudo das Séries Convergentes, podemos determinar uma expressão única que expresse o valor para o qual a série geométrica se aproxima, para isso vamos considerar alguns pontos. Vamos supor que a razão q assuma valores dentro do intervalo ]– 1 e 1[, isto é – 1 < q < 1, dessa forma, podemos concluir que o elemento qn da expressão que determina a soma dos termos de uma PG tende a zero à medida que o número de termos n aumenta. Dessa forma, podemos considerar qn = 0. Acompanhe a demonstração:

S_n = a₁(qn – 1) = a₁(0 – 1)     =    –   a₁      =       a₁  
                   q – 1           q – 1               q – 1           1 – q          

Então, segue a seguinte expressão: 

 S_n =    a₁     , –1 < q < 1
1 – q           

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Progressões - Matemática - Brasil Escola