Progressão geométrica

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica onde cada termo é igual ao produto de seu antecessor com uma constante, chamada razão da PG. Em outras palavras, a diferença entre dois termos quaisquer e consecutivos de uma PG é uma constante.

Exemplo de progressão geométrica:

(1, 3, 9, 27, 81, …)

Cada termo dessa PG, exceto o primeiro, é resultado de um produto de seu antecessor por 3, pois 3 = 3·1, 9 = 3·3 e assim por diante.

A razão de uma PG é representada pela letra “q”. E seus elementos são representados por uma letra minúscula seguida de um número que indica a posição do número. Por exemplo, na PG acima, o termo a₁ é o primeiro termo e é igual a 1. O termo a₄ é o quarto termo e é igual a 27. Dessa forma, é costume indicar o enésimo termo de uma PG por a_n.

Fazendo uso da definição de PG, podemos escrever o enésimo termo como um produto de seu antecessor a_{n – 1} pela razão. Assim, a definição das progressões geométricas também pode ser dada da seguinte maneira:

Veja também: Soma dos termos de uma progressão aritmética
 

Tópicos deste artigo

• 1 - Termo geral da PG
• 2 - Soma dos termos de uma PG

Termo geral da PG

O termo geral de uma PG é uma expressão que pode ser usada para encontrar um termo qualquer de uma progressão geométrica. Esse termo também é expresso por a_n e a expressão/fórmula utilizada para determiná-lo é:

Onde:

n é o índice do termo que queremos determinar, ou seja, está ligado à posição desse termo na PG;

a₁ é o primeiro termo da progressão geométrica e

q é sua razão.

Por exemplo, para determinar o décimo termo da PG (1, 2, 4, 8, 16, …), podemos fazer:

a_n = a₁·q^{n – 1}

a₁₀ = 1·2^{10 – 1}

Pois a₁ = 1, q = 2 e n = 10. Prosseguindo nos cálculos:

a₁₀ = 1·2⁹

a₁₀ = 2⁹

a₁₀ = 512

Soma dos termos de uma PG

Existem duas possibilidades para o cálculo da soma dos termos de uma PG. Ela pode ser finita ou o problema pode exigir a soma de uma quantidade finita de termos de uma PG infinita. Em ambos os casos, usamos a fórmula:

Se for necessário encontrar a soma dos termos de uma PG infinita, a fórmula a ser utilizada é:

Por fim, é possível encontrar o produto dos termos de uma PG finita. A fórmula usada para esse cálculo é:

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática