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Produto dos termos de uma PG

Matemática

O produto dos temos de uma progressão geométrica (PG) é dado por meio de uma fórmula matemática, que só é válida para PGs finitas ou para o produto de seus n primeiros termos.
Fórmula usada para calcular o produto dos termos de uma PG.
Fórmula usada para calcular o produto dos termos de uma PG.
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A fórmula do produto dos termos de uma progressão geométrica (PG) é uma fórmula matemática usada para encontrar o resultado da multiplicação entre todos os termos de uma PG e é dada pela seguinte expressão:
 


Nessa fórmula, Pn é o produto dos termos da PG, a1 é o primeiro termo e está elevado a n na fórmula. Além disso, q é a razão da PG e n é o número de termos que serão multiplicados.

Como o número de termos a ser multiplicado é finito, então essa fórmula só é válida para os n primeiros termos da PG ou para progressões geométricas finitas.

Veja também: Soma dos temos de uma PG finita


Exercícios resolvidos

Exercício 1

Calcule o produto dos termos da PG (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128).

Observe que essa PG possui 7 termos, o primeiro deles é 2 e a razão também é 2, pois 4 : 2 = 2. Substituindo esses valores na fórmula do produto dos termos da PG, teremos:
 


O último passo, em que escrevemos 27 + 21 = 228, foi feito por meio das propriedades de potências.

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Exercício 2

Determine o produto dos termos da PG finita a seguir: (1, 3, 9, … 2187).

A razão dessa PG é 3 : 1 = 3, seu primeiro termo é 1, seu último termo é 2187, mas o número de termos que ela possui é desconhecido. Para encontrá-lo, será necessário usar a fórmula do termo geral da PG, presente na imagem a seguir. Substituindo os valores conhecidos nessa fórmula, teremos:
 


Como 2187 = 37, teremos:
 


Como as bases das potências obtidas são iguais, podemos igualar seus expoentes:
 


Assim, o número de termos dessa PG é 8. Substituindo razão, primeiro termo e número de termos na fórmula do produto dos termos da PG, teremos:
 


Veja também: Soma dos termos de uma PG infinita

Por Luiz Paulo Silva
Graduado em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Produto dos termos de uma PG"; Brasil Escola. Disponível em <https://brasilescola.uol.com.br/matematica/produto-dos-termos-uma-pg.htm>. Acesso em 19 de setembro de 2018.

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