Soma dos termos de uma Progressão Aritmética

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica em que cada termo é a soma do anterior por uma constante, chamada de razão. Existem expressões matemáticas para determinar o termo de uma PA e para calcular a soma de seus n primeiros termos.

A fórmula usada para calcular a soma dos termos de uma PA finita ou a soma dos n primeiros termos de uma PA é a seguinte:

S_n = n(a₁ + a_n)
                                                                                        2

*n é o número de termos da PA; a₁ é o primeiro termo, e a_n é o último.

Origem da soma dos termos da PA

Conta-se que o matemático alemão Carl Friederich Gauss, aproximadamente aos 10 anos de idade, foi castigado com a sua turma na escola. O professor mandou os alunos somarem todos os números que aparecem na sequência de 1 até 100.

Gauss não foi só o primeiro a terminar em um curtíssimo período de tempo, como também foi o único a acertar o resultado (5050). Além disso, não apresentou cálculo algum. O que ele fez foi reparar a seguinte propriedade:

A soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma PA finita é igual à soma dos extremos.

Não havia conhecimento sobre PA na época, mas Gauss visualizou a lista de números e percebeu que, somando o primeiro com o último, teria 101 como resultado; somando o segundo com o penúltimo, o resultado também seria 101 e assim por diante. Como a soma de todos os pares de termos equidistantes dos extremos resultava em 101, Gauss só precisou multiplicar esse número por metade dos termos disponíveis para encontrar o resultado 5050.

Observe que, do número 1 até o número 100, existem exatamente 100 números. Gauss percebeu que, se os somasse dois a dois, obteria 50 resultados iguais a 101. Por isso, essa multiplicação foi feita por metade do total de termos.

Demonstração da soma dos termos de uma PA

Esse feito deu origem à expressão usada para calcular a soma dos n primeiros termos de uma PA. A tática usada para chegar a essa expressão é a seguinte:

Dada uma PA qualquer, somaremos os n primeiros termos dela. Matematicamente, teremos:

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_{n – 2} + a_{n – 1} + a_n

Logo abaixo dessa soma de termos, escreveremos outra, com os mesmos termos da anterior, porém, no sentido decrescente. Observe que a soma dos termos da primeira é igual à soma dos termos da segunda. Por isso, ambas foram igualadas a S_n.

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_{n – 2} + a_{n – 1} + a_n

S_n = a_n + a_{n – 1} + a_{n – 2} + … + a₃ + a₂ + a₁

Note que essas duas expressões foram obtidas de uma única PA e que os termos equidistantes estão alinhados na vertical. Sendo assim, podemos somar as expressões para obter:

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_{n – 2} + a_{n – 1} + a_n

+ S_n = a_n + a_{n – 1} + a_{n – 2} + … + a₃ + a₂ + a₁

2S_n = (a₁ + a_n) + (a₂ + a_{n – 1}) + … + (a_{n – 1} + a₂) + (a_n + a₁)

Lembre-se de que a soma dos termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Por isso, cada parênteses pode ser trocado pela soma dos extremos, como faremos a seguir:

2S_n = (a₁ + a_n) + (a₁ + a_n) + ... + (a₁ + a_n) + (a₁ + a_n)

A ideia de Gauss foi somar os termos equidistantes de uma sequência. Por isso, ele obteve metade da quantidade de termos da PA em resultados 101. Nós fizemos de modo que cada termo da PA inicial fosse somado ao seu valor equidistante, preservando seu número de termos. Assim, como a PA tinha n termos, podemos trocar a soma, na expressão acima, por uma multiplicação e resolver a equação para encontrar:

2S_n = (a₁ + a_n) + (a₁ + a_n) + ... + (a₁ + a_n) + (a₁ + a_n)

2S_n = n(a₁ + a_n)

S_n = n(a₁ + a_n)
        2

Essa é justamente a fórmula usada para somar os n primeiros termos de uma PA.

Exemplo

Dada a P.A (1, 2, 3, 4), determine a soma dos seus 100 primeiros termos.

Solução:

Precisaremos encontrar o termo a₁₀₀. Para tanto, usaremos a fórmula do termo geral de uma PA:

a_n = a₁ + (n – 1)r

a₁₀₀ = 1 + (100 – 1)1

a₁₀₀ = 1 + 99

a₁₀₀ = 100

Agora a fórmula para soma dos n primeiros termos:

S_n = n(a₁ + a_n)
       2

S₁₀₀ = 100(1 + 100)
          2

S₁₀₀ = 100(101)
          2

S₁₀₀ = 10100
           2

S₁₀₀ = 5050

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática