Princípio fundamental da contagem

Matemática

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O princípio fundamental da contagem é o principal conceito ensinado na análise combinatória. É a partir dele que se desenvolveram os demais conceitos dessa área e as fórmulas de fatorial, combinação, arranjo, permutação. Entender esse princípio é essencial para compreender situações que envolvem contagem.

Esse princípio afirma que, se eu preciso tomar mais de uma decisão e cada uma delas pode ser tomada de x, y, z maneiras, para sabermos a quantidade de formas que essas decisões podem ser tomadas simultaneamente, basta calcular o produto dessas possibilidades.

Leia também: Análise combinatória — o que é, conceitos importantes, exercícios

Utilizamos o princípio fundamental da contagem para quantificar as possibilidades.
Utilizamos o princípio fundamental da contagem para quantificar as possibilidades.

O que é o princípio fundamental da contagem?

O princípio fundamental da contagem é uma técnica para calcularmos de quantas maneiras decisões podem combinar-se. Se uma decisão pode ser tomada de n maneiras e outra decisão pode ser tomada de m maneiras, o número de maneiras que essas decisões podem ser tomadas simultaneamente é calculado pelo produto de n · m.

Analisar todas as combinações possíveis sem utilizar o princípio fundamental da contagem pode ser bastante trabalhoso, o que faz com que a fórmula seja muito eficiente.

Exemplo

Em um restaurante, é oferecido o famoso prato feito. Todos os pratos possuem arroz, e o cliente pode escolher uma combinação entre 3 possibilidades de carne (bovina, de frango e vegetariana), 2 tipos de feijão (caldo ou tropeiro) e 2 tipos de bebida (suco ou refrigerante). De quantas maneiras distintas um cliente pode fazer o pedido?

Note que há 12 possibilidades de escolha, mas era possível chegar a esse número realizando a simples multiplicação das possibilidades por meio do princípio fundamental da contagem, logo o número de combinações de pratos possíveis poderia ser calculado por:

2 · 3 · 2 = 12.

Perceba que, quando meu interesse é saber somente o total de possibilidades, realizar a multiplicação é muito mais rápido do que construir qualquer esquema para analisar, o que pode ser bastante trabalhoso, caso haja mais e mais possibilidades.

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Quando utilizar o princípio fundamental da contagem?

Existem várias aplicações do princípio fundamental da contagem. Ele pode ser aplicado, por exemplo, em várias decisões da informática. Um exemplo são as senhas que exigem o uso de pelo menos um símbolo, o que faz com que o número de combinações possíveis seja muito maior, deixando o sistema mais seguro.

Outra aplicação é no estudo das probabilidades. Para calculá-las, precisamos saber a quantidade de casos possíveis e a quantidade de casos favoráveis. A contagem dessa quantidade de casos possíveis e favoráveis pode ser feita por meio do princípio fundamental da contagem. Esse princípio gera também as fórmulas de permutação, combinação e arranjo.

Veja também: Princípio aditivo da contagem — união de um ou mais conjuntos

Exercícios resolvidos

1) (Enem) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido.

Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há:

a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

Resolução

Pelo princípio fundamental da contagem, o número de possíveis respostas será igual ao produto das quantidades de personagens, objetos e cômodos.

5 · 6 · 9 = 270.

Como o número de alunos é 280, então a diferença entre a quantidade de número de alunos e a quantidade de possibilidades é 10.

Resposta: alternativa A.

2) (Enem) Estima-se que haja, no Acre, 209 espécies de mamíferos, distribuídas conforme a tabela abaixo.

Deseja-se realizar um estudo comparativo entre três espécies de mamíferos – uma do grupo dos Cetáceos, outra do grupo dos Primatas e a terceira dos grupos dos Roedores. O número de conjuntos distintos que podem ser formados com essas espécies para esse estudo é igual a:

a) 1320

b) 2090

c) 5840

d) 6600

e) 7245.

Resolução:

Sabemos que há 2 cetáceos, 20 primatas e 33 roedores. Então, pelo princípio fundamental da contagem, o número de conjuntos distintos possíveis será:

2 ·20 ·33 = 1320

Resposta: alternativa A.  

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Princípio fundamental da contagem"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatorial-principio-fundamental-da-contagem.htm. Acesso em 22 de setembro de 2020.

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Lista de Exercícios
Questão 1

Simplifique a expressão a seguir de acordo com as regras do Fatorial de um número:  

Questão 2

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