Teorema da decomposição de um polinômio

O teorema fundamental da álgebra para equações polinomiais garante que “todo polinômio de grau n ≥ 1 possui pelo menos uma raiz complexa”. A demonstração desse teorema foi feita pelo matemático Friedrich Gauss, em 1799. A partir dele, podemos demonstrar o teorema da decomposição de um polinômio, o qual garante que qualquer polinômio pode ser decomposto em fatores de primeiro grau. Tome o seguinte polinômio p(x) de grau n ≥ 1 e a_n ≠ 0:

p(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + … + a₁x¹ + a₀

Através do teorema fundamental da álgebra, podemos afirmar que esse polinômio possui pelo menos uma raiz complexa u₁, tal que p(u₁) = 0. O teorema de D'Alembert para a divisão de polinômios afirma que, se p(u₁) = 0, então p(x) é divisível por (x – u₁), resultando em um quociente q₁(x), que é um polinômio de grau (n – 1), o que nos leva a afirmar:

p(x) = (x – u₁) . q₁(x)

A partir dessa equação, é preciso destacar duas possibilidades:

Se u = 1 e q₁(x) é um polinômio de grau (n – 1), então q₁(x) possui grau 0. Como o coeficiente dominante de p(x) é a_n, q₁(x) é um polinômio constante do tipo q₁(x) = a_n. Portanto, temos:

p(x) = (x – u₁) . q₁(x)
(x) = (x – u₁) . a_n
p(x) = a_n . (x – u₁)

Mas se u ≥ 2, então o polinômio q₁ possui grau n – 1 ≥ 1 e vale o teorema fundamental da álgebra. Podemos afirmar que o polinômio q₁ possui pelo menos uma raiz n₂, o que nos leva a afirmar que q₁ pode ser escrito como:

q₁(x) = (x – u₂) . q₂(x)

Mas como p(x) = (x – u₁) . q₁(x), podemos reescrevê-lo como:

p(x) = (x – u₁) . (x – u₂) . q₂(x)

Repetindo sucessivamente esse processo, teremos:

p(x) = a_n. (x – u₁) . (x – u₂) … (x – u_n)

Exemplo: Seja p(x) um polinômio de grau 5, tal que suas raízes sejam – 1, 2, 3, – 2 e 4. Escreva esse polinômio decomposto em fatores de 1° grau, considerando o coeficiente dominante igual a 1. Ele deve ser escrito na forma estendida:

Se – 1, 2, 3, – 2 e 4 são raízes do polinômio, então o produto das diferenças de x por cada uma dessas raízes resulta em p(x):

p(x) = a_n.(x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)

Se o coeficiente dominante a_n = 1, temos:

p(x) = 1.(x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)
p(x) = (x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)
p(x) = (x² – x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)
p(x) = (x³ – 4x² + x + 6).(x + 2).(x – 4)
p(x) = (x⁴ – 2x³ – 7x² + 8x + 12).(x – 4)
p(x) = x⁵ – 6x⁴ + x³ + 36x² – 20x – 48

Por Amanda Gonçalves
Graduada em Matemática