Teorema das raízes racionais

Considere a equação polinomial a seguir em que todos os coeficientes a_n são inteiros:

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + … + a₂x² + a₁x + a₀ = 0

O Teorema das Raízes Racionais garante que, se essa equação admite o número racional ^p/_q como raiz (com p  , q   e mdc(p,q) = 1), então a₀ é divisível por p e a_n é divisível por q.

Observações:

1º) O teorema das raízes racionais não garante que a equação polinomial tenha raízes, mas caso elas existam, o teorema permite identificar todas as raízes da equação;

2º) Se a_n = 1 e os outros coeficientes são todos inteiros, a equação possui apenas raízes inteiras.

3°) Se q = 1 e há raízes racionais, estas são inteiras e divisoras de a₀.

Aplicação do Teorema das Raízes Racionais:

Vamos utilizar o teorema para encontrar todas as raízes da equação polinomial 2x⁴ + 5x³ – 11x² – 20x + 12 = 0.

Primeiramente, vamos identificar as possíveis raízes racionais dessa equação, isto é, as raízes da forma ^p/_q. De acordo com o teorema, a₀ é divisível por p; dessa forma, como a₀ = 12, então os possíveis valores de p são {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}. Analogamente, temos que a_n é divisível por q e a_n = 2, então q pode ter os seguintes valores: {±1, ±2}. Sendo assim, dividindo os valores de p por q, obtemos os possíveis valores ^p/_q raízes da equação: {+½, – ½, +1, – 1, +³/_{2, –}³/₂, +2 , –2, +3, –3, +4, –4, +6, –6, +12, –12}.

Para confirmar se os valores que encontramos são realmente a raiz da equação polinomial, vamos substituir cada valor no lugar do x da equação. Através do cálculo algébrico, se o polinômio resultar em zero, então o número substituído é, realmente, a raiz da equação.

2x⁴ + 5x³ – 11x² – 20x + 12 = 0

Para x = + ½

2.(½)⁴ + 5.(½)³ – 11.(½)² – 20.(½) + 12 = 0

Para x = – ½

2.(– ½)⁴ + 5.(– ½)³ – 11.(– ½)² – 20.(– ½) + 12 = ⁷⁵/₄

Para x = + 1

2.1⁴ + 5.1³ – 11.1² – 20.1 + 12 = – 12

Para x = – 1

2.(– 1)⁴ + 5.(– 1)³ – 11.(– 1)² – 20.(– 1) + 12 = 18

Para x = + ³/₂

2.(³/₂)⁴ + 5.(³/₂)³ – 11.(³/₂)² – 20.(³/₂) + 12 = – ⁶³/₄

Para x = – ³/₂

2.(– ³/₂)⁴ + 5.(– ³/₂)³ – 11.(– ³/₂)² – 20.(– ³/₂) + 12 = ²¹/₂

Para x = + 2

2.2⁴ + 5.2³ – 11.2² – 20.2 + 12 = 0

Para x = – 2

2.(– 2)⁴ + 5.(– 2)³ – 11.(– 2)² – 20.(– 2) + 12 = 0

Para x = + 3

2.3⁴ + 5.3³ – 11.3² – 20.3 + 12 = 150

Para x = – 3

2.(– 3)⁴ + 5.(– 3)³ – 11.(– 3)² – 20.(– 3) + 12 = 0

Para x = + 4

2.4⁴ + 5.4³ – 11.4² – 20.4 + 12 = 588

Para x = – 4

2.(– 4)⁴ + 5.(– 4)³ – 11.(– 4)² – 20.(– 4) + 12 = 108

Para x = + 6

2.6⁴ + 5.6³ – 11.6² – 20.6 + 12 = 3168

Para x = – 6

2.(– 6)⁴ + 5.(– 6)³ – 11.(– 6)² – 20.(– 6) + 12 = 1248

Para x = + 12

2.12⁴ + 5.12³ – 11.12² – 20.12 + 12 = 48300

Para x = – 12

2.(– 12)⁴ + 5.(– 12)³ – 11.(– 12)² – 20.(– 12) + 12 = 31500

Portanto, as raízes da equação polinomial 2x⁴ + 5x³ – 11x² – 20x + 12 = 0 são {– 3, – 2, ½, 2}. Através do teorema da decomposição de um polinômio, poderíamos escrever essa equação como (x + 3).(x + 2).(x – ½).(x – 2) = 0.

Por Amanda Gonçalves
Graduada em Matemática