Adição de polinômios

A adição de polinômios é uma operação entre expressões algébricas (expressões matemáticas que contêm números e letras). Para adicionar dois polinômios devemos agrupar os termos semelhantes. Isso significa realizar a operação de adição entre os coeficientes dos termos com a mesma parte literal. Por exemplo, a soma do polinômio \(3x+1\) com o polinômio \(x-2\) é \((3+1)x+(1-2)=2x-1\).

Leia também: Dispositivo prático de Briot-Ruffini — um algoritmo que facilita a divisão entre um polinômio e um binômio

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre adição de polinômios
• 2 - Como fazer a adição de polinômios?
• 3 - Outras operações de polinômios
• 4 - Exercícios resolvidos sobre adição de polinômios

Resumo sobre adição de polinômios

• A adição de polinômios consiste no agrupamento de termos com a mesma parte literal.

• Se os polinômios possuem graus diferentes, os termos que “faltam” podem ser expressos por um coeficiente nulo.

• É fundamental conhecer e aplicar a regra de sinais na adição de polinômios.

• Além da adição, as outras operações de polinômios são a subtração, a multiplicação e a divisão.

Como fazer a adição de polinômios?

Para adicionar polinômios (expressão algébrica formada por monômios) precisamos adicionar os coeficientes dos termos correspondentes. Em outras palavras, devemos adicionar o termo independente de um polinômio ao termo independente do outro polinômio, depois adicionar o coeficiente do termo com x de um polinômio ao coeficiente do termo com x do outro polinômio e assim por diante. Perceba que a adição de polinômios indica o agrupamento de termos (monômios) com a mesma parte literal.

Importante: Neste texto vamos utilizar potências de x para indicar a parte literal dos polinômios, mas um polinômio pode apresentar outras letras na parte literal.

Vejamos como indicar formalmente a operação de adição entre polinômios. A escrita algébrica pode parecer um pouco complexa, mas o processo de adição de polinômios é simples e coerente, como veremos posteriormente nos exemplos.

Considere dois polinômios de grau n, representados por

\(a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+⋯+a_n x^n\)

\(b_0+b_1 x+b_2 x^2+b_3 x^3+⋯+b_n x^n\)

A adição entre os dois polinômios é dada por

\((a_0+b_0 )+(a_1+b_1 )x+(a_2+b_2 ) x^2+(a_3+b_3 ) x^3+⋯+(a_n+b_n ) x^n\)

Note que essa expressão é obtida da seguinte forma:

\((a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+⋯+a_n x^n )+(b_0+b_1 x+b_2 x^2+b_3 x^3+⋯+b_n x^n )\)

\(= a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+⋯+a_n x^n+b_0+b_1 x+b_2 x^2+b_3 x^3+⋯+b_n x^n\)

\(= \color{red}{a_0+b_0}+\color{blue}{a_1 x+b_1 x}+\color{green}{a_2 x^2+b_2 x^2}+\color{orange}{a_3 x^3+b_3 x^3}+⋯+\color{purple}{a_n x^n+b_n x^n}\)

\(=\color{red}{(a_0+b_0 )}+\color{blue}{(a_1+b_1 )x}+\color{green}{(a_2+b_2 ) x^2}+\color{orange}{(a_3+b_3 ) x^3}+⋯+\color{purple}{(a_n+b_n ) x^n}\)

Vale destacar que os coeficientes são números reais e, portanto, podem assumir valores positivos ou negativos. Considerando isso, é necessário utilizar a regra de sinais na adição de polinômios.

Ainda, caso determinado termo esteja expresso em apenas um polinômio, podemos representá-lo no outro polinômio com um coeficiente nulo para indicar a adição. Por exemplo, o polinômio \(x^2+1\) pode ser escrito como \(x^2+0x+1\).

• Exemplo 1:

\((\color{orange}{1}x\color{green}{-4})+(\color{orange}{1}x\color{green}{+2})=(\color{orange}{1+1})x+(\color{green}{-4+2})=\color{orange}{2}x\color{green}{-2}\)

• Exemplo 2:

\((\color{red}{2}x\color{blue}{+8})+(\color{red}{3}x\color{blue}{-1})=(\color{red}{2+3})x+(\color{blue}{8-1})=\color{red}{5}x\color{blue}{+7}\)

• Exemplo 3:

\((\color{blue}{7}x^3\color{red}{-5})+(\color{orange}{2}x^2\color{red}{-1})\)

\(= (\color{blue}{7}x^3+\color{orange}{0}x^2\color{red}{-5})+(\color{blue}{0}x^3+\color{orange}{2}x^2\color{red}{-1})\)

\(=(\color{blue}{7+0}) x^3+(\color{orange}{0+2}) x^2+(\color{red}{-5-1})=\color{blue}{7}x^3+\color{orange}{2}x^2\color{red}{-6}\)

• Exemplo 4:

\((\color{green}{-4}x^2\color{orange}{-2}x\color{red}{+3})+(\color{green}{-1}x^2\color{orange}{+1}x\color{red}{-2})\)

\(=(\color{green}{-4-1}) x^2+(\color{orange}{-2+1})x+(\color{red}{3-2})=\color{green}{-5}x^2\color{orange}{-1}x\color{red}{+1}\)

Importante: O coeficiente 1 normalmente não é indicado, exceto no termo independente. Assim, por exemplo, 1x seria escrito apenas como x.

Outras operações de polinômios

Além da adição, as outras operações de polinômios são a subtração, a multiplicação e a divisão:

• Subtração de polinômios: é muito semelhante à adição, pois envolve operar e agrupar os coeficientes dos termos semelhantes.

• Multiplicação de polinômios: é realizada a partir da propriedade distributiva, em que cada termo de um polinômio é multiplicado por cada termo do outro polinômio.

• Divisão de polinômios: é realizada a partir do polinômio dividendo para cada termo do polinômio divisor.

Veja também: Fatoração de polinômios — o método de reescrita de um polinômio como um produto entre polinômios

Exercícios resolvidos sobre adição de polinômios

Questão 1

Se \((x^4-px^3+qx^2+1)+(3x^4-10x^3-2x^2+r)=(4x^4-6x^3+8x^2+7)\), então p, q e r são, respectivamente, iguais a

A) 3, 4 e 10.

B) -1, 2 e 4.

C) -4, 10, 6.

D) 6, -4 e 10.

E) 1, -3 e 4.

Resolução:

Alternativa C.

Note que, a partir da soma dos polinômios, podemos comparar os coeficientes.

• Encontrando o valor de p

\((-p+(-10)) x^3=-6x^3\)

\(-p-10=-6\)

\(p =-10+6 =-4\)

• Encontrando o valor de q

\((q+(-2)) x^2=8x^2\)

\(q-2 = 8\)

\(q = 10\)

• Encontrando o valor de r

\((1+r)=7\)

\(r = 6\)

Questão 2

Classifique cada afirmação abaixo em V (verdadeira) ou F (falsa).

I. Se p é um polinômio de grau n e q é um polinômio de grau m, com n > m, então o polinômio p + q é de grau n.

II. A subtração, multiplicação e divisão são exemplos de outras operações de polinômios.

III. \((2x+3)+(x^2+4)=4x+7\)

A ordem correta, de cima para baixo, é

A) V-F-V

B) V-V-V

C) V-V-F

D) F-F-F

E) F-V-V

Resolução:

Alternativa C.

I. Se p é um polinômio de grau n e q é um polinômio de grau m, com n > m, então o polinômio p + q é de grau n. (verdadeiro)

II. A subtração, multiplicação e divisão são exemplos de outras operações de polinômios. (verdadeiro)

III. \((2x+3)+(x^2+4)=4x+7\) (falso)

\((2x+3)+(x^2+4)=x^2+2x+7\)

Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática