Notificações
Você não tem notificações no momento.
Whatsapp icon Whatsapp
Copy icon

Solução da inequação fundamental senx > k

A solução da inequação fundamental senx > k é feita por meio do ciclo trigonométrico, no qual se busca o conjunto dos valores de x que fazem senx > k.

É possível encontrar a solução da inequação senx > k por meio da Trigonometria
É possível encontrar a solução da inequação senx > k por meio da Trigonometria
Crédito da Imagem: shutterstock
Imprimir
Texto:
A+
A-
Ouça o texto abaixo!

PUBLICIDADE

As inequações trigonométricas são desigualdades que possuem pelo menos uma razão trigonométrica em que o ângulo é desconhecido. A incógnita de uma inequação trigonométrica é um arco, portanto, assim como nas inequações a solução é dada por um intervalo, nas inequações trigonométricas, também. A diferença é que esse intervalo é um arco no ciclo trigonométrico, no qual cada ponto corresponde a um ângulo que pode ser considerado resultado da inequação.

Neste artigo, resolveremos a inequação fundamental senx > k. A solução dessa inequação é análoga à solução das inequações senx < k, senx ≤ k e senx ≥ k.

Ciclo trigonométrico e a solução da inequação

As soluções da inequação senx > k estão no ciclo trigonométrico. Portanto, k deve estar no intervalo [– 1, 1]. Esse intervalo está sobre o eixo y do plano cartesiano, que é o eixo dos senos. Já o intervalo em que está o valor de x é um arco do ciclo trigonométrico.

Supondo que k esteja no intervalo [0, 1], teremos a seguinte imagem:

No eixo dos senos (eixo y), os valores que fazem com que senx > k são aqueles que ficam acima do ponto k. O arco que contempla todos esses valores é o menor, DE, ilustrado na figura acima.

A solução da inequação senx > k considera todos os valores de x (que é um ângulo) entre o ponto D e o ponto E do ciclo. Supondo que o arco menor BD esteja relacionado ao ângulo α, isso significa que o ângulo relacionado ao arco menor, BE, mede π – α. Então, uma das soluções desse problema é o intervalo que vai de α até π – α.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Essa solução é válida apenas para a primeira volta. Caso não haja restrição para a inequação trigonométrica, devemos somar a parcela 2kπ, que indica que k voltas podem ser dadas.

Portanto, a solução algébrica da inequação senx > k, quando k está entre 0 e 1, é:

S = {xER| α + 2kπ < x < π – α + 2kπ}

Com k pertencente ao conjunto dos naturais.

Note que, para a primeira volta, k = 0. Para a segunda volta, temos dois resultados: o primeiro, em que k = 0, e o segundo, em que k = 1. Para a terceira volta, teremos três resultados: k = 0, k = 1 e k = 2; e assim por diante.

Caso em que k é negativo

Quando k é negativo, a solução pode ser obtida de maneira análoga a explicada anteriormente. Assim, teremos no ciclo trigonométrico:

A diferença desse caso para o anterior é que, agora, o ângulo α está relacionado ao arco maior BE. Então, a medida desse arco é π + α. Já o arco maior BD mede 2π – α. Assim, a solução da inequação senx > k, para k negativo, é:

S = {xER| 2π – α + 2kπ < x < π + α + 2kπ}

Além disso, a parcela 2kπ aparece nessa solução pelo mesmo motivo mencionado antes, relacionado ao número de voltas.

Por Luiz Moreira
Graduado em Matemática

Escritor do artigo
Escrito por: Luiz Paulo Moreira Silva Escritor oficial Brasil Escola

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Solução da inequação fundamental senx > k"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/solucao-inequacao-fundamental-senx.htm. Acesso em 13 de julho de 2024.

De estudante para estudante


Artigos Relacionados


Comprimento da circunferência

Clique aqui, descubra o que é o comprimento de uma circunferência e conheça sua fórmula.
Matemática

Comprimento de um Arco

Medidas de comprimento de arcos em função do ângulo central.
Matemática

Inequações polinomiais do 1º grau

Inequação, Equação, Função, Inequação do 1º grau, Equação do 1º grau, Função do 1º grau, Igualdade, Sinais da inequação, pertence, Solução da inequação, Resolução de inequações.
Matemática

Lei dos cossenos

Clique aqui, saiba o que diz a lei dos cossenos, descubra qual é sua fórmula e aprenda quando utilizá-la no estudo de triângulos.
Matemática

Lei dos senos

Clique aqui, descubra o que é a lei do senos, conheça sua fórmula e saiba como utilizá-la no estudo de triângulos.
Matemática

Números naturais

Aprenda quais são os números naturais e entenda o conceito de sucessão. Veja também a ideia de paridade de um número natural com exemplos.
Matemática

Seno e cosseno de ângulos obtusos

Conheça as razões trigonométricas de ângulos obtusos conhecidas como seno e cosseno.
Matemática

Seno, cosseno e tangente

Veja como calcular o valor do seno, cosseno e tangente de um ângulo e saiba quais das razões usar em uma situação problema.
Matemática

Seno, cosseno e tangente na circunferência trigonométrica

Demonstrando a existência de seno, cosseno e tangente na circunferência trigonométrica.
Matemática

Ângulos

Saiba o que é um ângulo, aprenda a sua classificação e confira ainda exercícios resolvidos para testar seus conhecimentos.
Matemática