Propriedades e características da desigualdade

Inequações são expressões algébricas munidas de uma desigualdade. Elas são muito parecidas com as equações, especialmente no que se refere ao método de resolução e ao modo como elas são apresentadas. O que as difere, entre outros aspectos, é que as equações possuem uma igualdade, e as inequações, uma desigualdade.

Equação x Inequação

As diferenças entre equações e inequações concentram-se nos resultados, em sua análise e quantidade. Para notar essa diferença, basta acompanhar a resolução de algum problema que envolva uma equação e outro que envolva uma inequação:

Equação: Uma jovem recebe em seu trabalho um salário de R$ 1200,00 e deseja comprar um carro, que custa R$ 3200,00 à vista. Sabendo que as despesas dessa jovem são de aproximadamente R$ 400,00 mensais e que ela consegue poupar o restante do dinheiro sem problemas, quanto tempo levará para que ela possa comprar o carro?

1200x – 400x = 32000

800x = 32000

x = 32000
      800

x = 40

Ela comprará o carro em 3 anos e 4 meses.

Inequação: Em uma escola de inglês é cobrada uma mensalidade de R$ 240,00 e uma taxa de inscrição de R$ 100,00. Qual é a quantidade máxima de meses que um aluno que tem R$ 2000,00 poderá frequentá-la?

100 + 240x < 2000

240x < 2000 – 100

240x < 1900

x < 1900
      240

x < 7,92

A quantidade máxima de meses que esse aluno poderá frequentar a escola é 7, pois x é menor que 7,92.

Nessa inequação, o resultado é exato porque estamos procurando um “maior número possível”. Todavia, normalmente, as inequações não possuem resultados únicos. Os resultados das inequações são conjuntos numéricos e, na maioria das vezes, possuem infinitos resultados.

Quando procuramos o resultado de uma equação, procuramos um número que represente a exatidão de uma situação. Quando procuramos o resultado de uma inequação, estamos atrás de um conjunto de números que satisfaça determinada sentença.

Desigualdade

A desigualdade recebe esse nome por não representar uma igualdade. Os símbolos usados são: <, >, ≤ e ≥, que, respectivamente, significam: menor, maior, menor ou igual, maior ou igual. Para exemplificar o uso desses sinais, observe:

x > 2

Esse é o resultado de uma inequação qualquer e significa que qualquer número maior que 2 pode ser considerado como resposta correta. Entretanto, observe que 2 não é maior que 2, logo, o próprio 2 não satisfaz a inequação.

x ≤ 6, com x natural

Os números naturais são apenas os inteiros não negativos. Sendo assim, as soluções para essa inequação também podem ser escritas em lista:

0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6

Dessa vez, o número 6 faz parte da lista de soluções, em virtude do símbolo “menor ou igual”.

Propriedades da desigualdade

Uma vez ciente dos aspectos acima, é possível pensar em métodos de resolução para inequações. Graças à sua semelhança com as equações, os cálculos devem ser realizados da mesma maneira. A única diferença está na desigualdade que será colocada no lugar da igualdade. Por causa dessa diferença, as inequações apresentam algumas propriedades que precisam ser observadas. Veja:

• Propriedade 1 – Somar um mesmo número aos dois membros de uma inequação não altera o sentido da desigualdade;

• Propriedade 2 – Subtrair um mesmo número dos dois membros de uma inequação não altera o sentido da desigualdade.

Dada a inequação a seguir, observe a solução:

15x – 9 < 5x +11

15x – 9 + 9 < 5x +11 + 9

15x < 5x + 20

15x – 5x < 5x + 20 – 5x

10x < 20

• Propriedade 3 – Multiplicar os dois membros de uma inequação por um número positivo não altera o sentido da desigualdade. Observe a continuação da solução da inequação acima, que será multiplicada pelo número positivo 1/10.

 1 · 10x < 20· 1 
10                10

x < 2

Esse procedimento é equivalente a “passar o 10 para o segundo membro dividindo, já que ele está multiplicando no primeiro”. Assim, essa propriedade também é válida da seguinte maneira:

“Passar para o outro membro um número positivo que está dividindo ou multiplicando não altera o sentido da desigualdade.”

• Propriedade 4 – Multiplicar os dois membros de uma inequação por um número negativo inverte o sinal da desigualdade.

Assim, nos casos em que as inequações precisam ser multiplicadas por – 1, essa propriedade deve ser aplicada. Por exemplo:

4x – 9 > 12x + 23

4x – 12x > 23 + 9

– 8x > 32

Observe que, nesse passo, a inequação deve ser multiplicada por – 1. Pela propriedade 4, devemos inverter o sinal da desigualdade para obter:

– 8x > 32 (– 1)

8x < – 32

x < – 32
         8

x < – 4

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática